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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.5

r=1.5

この級数の和は次のようになります:

s = 1625

s=1625

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 200 \cdot {1.5}^{n - 1}

a_n=200*1.5^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

200, 300, 450, 675, 1012.5, 1518.75, 2278.125, 3417.1875, 5125.78125, 7688.671875

200,300,450,675,1012.5,1518.75,2278.125,3417.1875,5125.78125,7688.671875

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{300}{200} = 1.5$

$a_{3} a_{2} = \frac{450}{300} = 1.5$

$a_{4} a_{3} = \frac{675}{450} = 1.5$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.5$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 200$ 、共通比数: $r = 1.5$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 200 * ((1 - {1.5}^{4}) / (1 - 1.5))$

$s_{4} = 200 * ((1 - 5.0625) / (1 - 1.5))$

$s_{4} = 200 * (- 4.0625 / (1 - 1.5))$

$s_{4} = 200 * (- 4.0625 / - 0.5)$

$s_{4} = 200 \cdot 8.125$

$s_{4} = 1625$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 200$ と共通比数: $r = 1.5$ を数式に代入します。

$a_{n} = 200 \cdot {1.5}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 200$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{2 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{1} = 200 \cdot 1.5 = 300$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{3 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{2} = 200 \cdot 2.25 = 450$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{4 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{3} = 200 \cdot 3.375 = 675$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{5 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{4} = 200 \cdot 5.0625 = 1012.5$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{6 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{5} = 200 \cdot 7.59375 = 1518.75$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{7 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{6} = 200 \cdot 11.390625 = 2278.125$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{8 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{7} = 200 \cdot 17.0859375 = 3417.1875$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{9 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{8} = 200 \cdot 25.62890625 = 5125.78125$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 200 \cdot {1.5}^{10 - 1} = 200 \cdot {1.5}^{9} = 200 \cdot 38.443359375 = 7688.671875$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列