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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 8

r=8

この級数の和は次のようになります:

s = 1387

s=1387

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 19 \cdot 8^{n - 1}

a_n=19*8^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

19, 152, 1216, 9728, 77824, 622592, 4980736, 39845888, 318767104, 2550136832

19,152,1216,9728,77824,622592,4980736,39845888,318767104,2550136832

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{152}{19} = 8$

$a_{3} a_{2} = \frac{1216}{152} = 8$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 8$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 19$ 、共通比数: $r = 8$ 、そして要素の数 $n = 3$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{3} = 19 * ((1 - 8^{3}) / (1 - 8))$

$s_{3} = 19 * ((1 - 512) / (1 - 8))$

$s_{3} = 19 * (- 511 / (1 - 8))$

$s_{3} = 19 * (- 511 / - 7)$

$s_{3} = 19 \cdot 73$

$s_{3} = 1387$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 19$ と共通比数: $r = 8$ を数式に代入します。

$a_{n} = 19 \cdot 8^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 19$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{2 - 1} = 19 \cdot 8^{1} = 19 \cdot 8 = 152$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{3 - 1} = 19 \cdot 8^{2} = 19 \cdot 64 = 1216$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{4 - 1} = 19 \cdot 8^{3} = 19 \cdot 512 = 9728$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{5 - 1} = 19 \cdot 8^{4} = 19 \cdot 4096 = 77824$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{6 - 1} = 19 \cdot 8^{5} = 19 \cdot 32768 = 622592$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{7 - 1} = 19 \cdot 8^{6} = 19 \cdot 262144 = 4980736$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{8 - 1} = 19 \cdot 8^{7} = 19 \cdot 2097152 = 39845888$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{9 - 1} = 19 \cdot 8^{8} = 19 \cdot 16777216 = 318767104$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot 8^{10 - 1} = 19 \cdot 8^{9} = 19 \cdot 134217728 = 2550136832$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列