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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6842105263157895

r=0.6842105263157895

この級数の和は次のようになります:

s = 32

s=32

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{n - 1}

a_n=19*0.6842105263157895^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

19, 13, 8.894736842105264, 6.085872576177286, 4.16401807843709, 2.849065001035904, 1.9493602638666712, 1.3337728121193013, 0.9125813977658378, 0.6243977984713628

19,13,8.894736842105264,6.085872576177286,4.16401807843709,2.849065001035904,1.9493602638666712,1.3337728121193013,0.9125813977658378,0.6243977984713628

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{13}{19} = 0.6842105263157895$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6842105263157895$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 19$ 、共通比数: $r = 0.6842105263157895$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 19 * ((1 - {0.6842105263157895}^{2}) / (1 - 0.6842105263157895))$

$s_{2} = 19 * ((1 - 0.46814404432132967) / (1 - 0.6842105263157895))$

$s_{2} = 19 * (0.5318559556786704 / (1 - 0.6842105263157895))$

$s_{2} = 19 * (0.5318559556786704 / 0.3157894736842105)$

$s_{2} = 19 \cdot 1.6842105263157896$

$s_{2} = 32$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 19$ と共通比数: $r = 0.6842105263157895$ を数式に代入します。

$a_{n} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 19$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{2 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{1} = 19 \cdot 0.6842105263157895 = 13$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{3 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{2} = 19 \cdot 0.46814404432132967 = 8.894736842105264$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{4 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{3} = 19 \cdot 0.32030908295669924 = 6.085872576177286$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{5 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{4} = 19 \cdot 0.21915884623353107 = 4.16401807843709$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{6 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{5} = 19 \cdot 0.14995078952820548 = 2.849065001035904$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{7 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{6} = 19 \cdot 0.10259790862456164 = 1.9493602638666712$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{8 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{7} = 19 \cdot 0.0701985690589106 = 1.3337728121193013$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{9 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{8} = 19 \cdot 0.04803059988241252 = 0.9125813977658378$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{10 - 1} = 19 \cdot {0.6842105263157895}^{9} = 19 \cdot 0.03286304202480857 = 0.6243977984713628$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列