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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6875

r=1.6875

この級数の和は次のようになります:

s = 43

s=43

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 16 \cdot {1.6875}^{n - 1}

a_n=16*1.6875^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

16, 27, 45.5625, 76.88671875, 129.746337890625, 218.9469451904297, 369.4729700088501, 623.4856368899345, 1052.1320122517645, 1775.4727706748527

16,27,45.5625,76.88671875,129.746337890625,218.9469451904297,369.4729700088501,623.4856368899345,1052.1320122517645,1775.4727706748527

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{27}{16} = 1.6875$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6875$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 16$ 、共通比数: $r = 1.6875$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 16 * ((1 - {1.6875}^{2}) / (1 - 1.6875))$

$s_{2} = 16 * ((1 - 2.84765625) / (1 - 1.6875))$

$s_{2} = 16 * (- 1.84765625 / (1 - 1.6875))$

$s_{2} = 16 * (- 1.84765625 / - 0.6875)$

$s_{2} = 16 \cdot 2.6875$

$s_{2} = 43$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 16$ と共通比数: $r = 1.6875$ を数式に代入します。

$a_{n} = 16 \cdot {1.6875}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 16$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{2 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{1} = 16 \cdot 1.6875 = 27$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{3 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{2} = 16 \cdot 2.84765625 = 45.5625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{4 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{3} = 16 \cdot 4.805419921875 = 76.88671875$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{5 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{4} = 16 \cdot 8.109146118164062 = 129.746337890625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{6 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{5} = 16 \cdot 13.684184074401855 = 218.9469451904297$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{7 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{6} = 16 \cdot 23.09206062555313 = 369.4729700088501$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{8 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{7} = 16 \cdot 38.96785230562091 = 623.4856368899345$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{9 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{8} = 16 \cdot 65.75825076573528 = 1052.1320122517645$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{10 - 1} = 16 \cdot {1.6875}^{9} = 16 \cdot 110.96704816717829 = 1775.4727706748527$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列