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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.2

r=0.2

この級数の和は次のようになります:

s = 19499

s=19499

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 15625 \cdot {0.2}^{n - 1}

a_n=15625*0.2^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

15625, 3125, 625.0000000000001, 125.00000000000003, 25.000000000000004, 5.000000000000001, 1.0000000000000004, 0.20000000000000007, 0.04000000000000002, 0.008000000000000004

15625,3125,625.0000000000001,125.00000000000003,25.000000000000004,5.000000000000001,1.0000000000000004,0.20000000000000007,0.04000000000000002,0.008000000000000004

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{3125}{15625} = 0.2$

$a_{3} a_{2} = \frac{625}{3125} = 0.2$

$a_{4} a_{3} = \frac{125}{625} = 0.2$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.2$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 15, 625$ 、共通比数: $r = 0.2$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 15625 * ((1 - {0.2}^{4}) / (1 - 0.2))$

$s_{4} = 15625 * ((1 - 0.0016000000000000003) / (1 - 0.2))$

$s_{4} = 15625 * (0.9984 / (1 - 0.2))$

$s_{4} = 15625 * (0.9984 / 0.8)$

$s_{4} = 15625 \cdot 1.2479999999999998$

$s_{4} = 19499.999999999996$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 15, 625$ と共通比数: $r = 0.2$ を数式に代入します。

$a_{n} = 15625 \cdot {0.2}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 15625$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{2 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{1} = 15625 \cdot 0.2 = 3125$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{3 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{2} = 15625 \cdot 0.04000000000000001 = 625.0000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{4 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{3} = 15625 \cdot 0.008000000000000002 = 125.00000000000003$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{5 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{4} = 15625 \cdot 0.0016000000000000003 = 25.000000000000004$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{6 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{5} = 15625 \cdot 0.0003200000000000001 = 5.000000000000001$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{7 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{6} = 15625 \cdot 6.400000000000002 E - 05 = 1.0000000000000004$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{8 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{7} = 15625 \cdot 1.2800000000000005 E - 05 = 0.20000000000000007$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{9 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{8} = 15625 \cdot 2.5600000000000013 E - 06 = 0.04000000000000002$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{10 - 1} = 15625 \cdot {0.2}^{9} = 15625 \cdot 5.120000000000002 E - 07 = 0.008000000000000004$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列