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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8

r=0.8

この級数の和は次のようになります:

s = 369

s=369

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 125 \cdot {0.8}^{n - 1}

a_n=125*0.8^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

125, 100, 80.00000000000001, 64.00000000000001, 51.20000000000001, 40.96000000000001, 32.768000000000015, 26.21440000000001, 20.971520000000012, 16.777216000000006

125,100,80.00000000000001,64.00000000000001,51.20000000000001,40.96000000000001,32.768000000000015,26.21440000000001,20.971520000000012,16.777216000000006

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{100}{125} = 0.8$

$a_{3} a_{2} = \frac{80}{100} = 0.8$

$a_{4} a_{3} = \frac{64}{80} = 0.8$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 125$ 、共通比数: $r = 0.8$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 125 * ((1 - {0.8}^{4}) / (1 - 0.8))$

$s_{4} = 125 * ((1 - 0.4096000000000001) / (1 - 0.8))$

$s_{4} = 125 * (0.5903999999999999 / (1 - 0.8))$

$s_{4} = 125 * (0.5903999999999999 / 0.19999999999999996)$

$s_{4} = 125 \cdot 2.9520000000000004$

$s_{4} = 369.00000000000006$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 125$ と共通比数: $r = 0.8$ を数式に代入します。

$a_{n} = 125 \cdot {0.8}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 125$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{2 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{1} = 125 \cdot 0.8 = 100$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{3 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{2} = 125 \cdot 0.6400000000000001 = 80.00000000000001$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{4 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{3} = 125 \cdot 0.5120000000000001 = 64.00000000000001$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{5 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{4} = 125 \cdot 0.4096000000000001 = 51.20000000000001$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{6 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{5} = 125 \cdot 0.3276800000000001 = 40.96000000000001$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{7 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{6} = 125 \cdot 0.2621440000000001 = 32.768000000000015$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{8 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{7} = 125 \cdot 0.20971520000000007 = 26.21440000000001$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{9 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{8} = 125 \cdot 0.1677721600000001 = 20.971520000000012$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 125 \cdot {0.8}^{10 - 1} = 125 \cdot {0.8}^{9} = 125 \cdot 0.13421772800000006 = 16.777216000000006$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列