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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.8095238095238095

r=1.8095238095238095

この級数の和は次のようになります:

s = 295

s=295

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{n - 1}

a_n=105*1.8095238095238095^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

105, 190, 343.80952380952385, 622.1315192743765, 1125.7617967822048, 2037.0927751297043, 3686.1678788061313, 6670.208542601571, 12069.901172326652, 21840.77354992442

105,190,343.80952380952385,622.1315192743765,1125.7617967822048,2037.0927751297043,3686.1678788061313,6670.208542601571,12069.901172326652,21840.77354992442

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{190}{105} = 1.8095238095238095$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.8095238095238095$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 105$ 、共通比数: $r = 1.8095238095238095$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 105 * ((1 - {1.8095238095238095}^{2}) / (1 - 1.8095238095238095))$

$s_{2} = 105 * ((1 - 3.2743764172335603) / (1 - 1.8095238095238095))$

$s_{2} = 105 * (- 2.2743764172335603 / (1 - 1.8095238095238095))$

$s_{2} = 105 * (- 2.2743764172335603 / - 0.8095238095238095)$

$s_{2} = 105 \cdot 2.8095238095238098$

$s_{2} = 295$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 105$ と共通比数: $r = 1.8095238095238095$ を数式に代入します。

$a_{n} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 105$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{2 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{1} = 105 \cdot 1.8095238095238095 = 190$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{3 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{2} = 105 \cdot 3.2743764172335603 = 343.80952380952385$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{4 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{3} = 105 \cdot 5.925062088327395 = 622.1315192743765$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{5 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{4} = 105 \cdot 10.721540921735285 = 1125.7617967822048$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{6 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{5} = 105 \cdot 19.40088357266385 = 2037.0927751297043$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{7 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{6} = 105 \cdot 35.106360750534584 = 3686.1678788061313$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{8 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{7} = 105 \cdot 63.52579564382449 = 6670.208542601571$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{9 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{8} = 105 \cdot 114.95143973644431 = 12069.901172326652$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{10 - 1} = 105 \cdot {1.8095238095238095}^{9} = 105 \cdot 208.00736714213733 = 21840.77354992442$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列