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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.25

r=0.25

この級数の和は次のようになります:

s = 13600

s=13600

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 10240 \cdot {0.25}^{n - 1}

a_n=10240*0.25^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

10240, 2560, 640, 160, 40, 10, 2.5, 0.625, 0.15625, 0.0390625

10240,2560,640,160,40,10,2.5,0.625,0.15625,0.0390625

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{2560}{10240} = 0.25$

$a_{3} a_{2} = \frac{640}{2560} = 0.25$

$a_{4} a_{3} = \frac{160}{640} = 0.25$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.25$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 10, 240$ 、共通比数: $r = 0.25$ 、そして要素の数 $n = 4$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{4} = 10240 * ((1 - {0.25}^{4}) / (1 - 0.25))$

$s_{4} = 10240 * ((1 - 0.00390625) / (1 - 0.25))$

$s_{4} = 10240 * (0.99609375 / (1 - 0.25))$

$s_{4} = 10240 * (0.99609375 / 0.75)$

$s_{4} = 10240 \cdot 1.328125$

$s_{4} = 13600$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 10, 240$ と共通比数: $r = 0.25$ を数式に代入します。

$a_{n} = 10240 \cdot {0.25}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 10240$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{2 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{1} = 10240 \cdot 0.25 = 2560$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{3 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{2} = 10240 \cdot 0.0625 = 640$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{4 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{3} = 10240 \cdot 0.015625 = 160$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{5 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{4} = 10240 \cdot 0.00390625 = 40$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{6 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{5} = 10240 \cdot 0.0009765625 = 10$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{7 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{6} = 10240 \cdot 0.000244140625 = 2.5$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{8 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{7} = 10240 \cdot 6.103515625 E - 05 = 0.625$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{9 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{8} = 10240 \cdot 1.52587890625 E - 05 = 0.15625$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{10 - 1} = 10240 \cdot {0.25}^{9} = 10240 \cdot 3.814697265625 E - 06 = 0.0390625$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列