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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.02

r=1.02

この級数の和は次のようになります:

s = 2019

s=2019

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 1000 \cdot {1.02}^{n - 1}

a_n=1000*1.02^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

1000, 1020, 1040.4, 1061.208, 1082.43216, 1104.0808032, 1126.1624192640002, 1148.68566764928, 1171.6593810022657, 1195.092568622311

1000,1020,1040.4,1061.208,1082.43216,1104.0808032,1126.1624192640002,1148.68566764928,1171.6593810022657,1195.092568622311

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{1020}{1000} = 1.02$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.02$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 1, 000$ 、共通比数: $r = 1.02$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 1000 * ((1 - {1.02}^{2}) / (1 - 1.02))$

$s_{2} = 1000 * ((1 - 1.0404) / (1 - 1.02))$

$s_{2} = 1000 * (- 0.04039999999999999 / (1 - 1.02))$

$s_{2} = 1000 * (- 0.04039999999999999 / - 0.020000000000000018)$

$s_{2} = 1000 \cdot 2.019999999999998$

$s_{2} = 2019.9999999999977$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 1, 000$ と共通比数: $r = 1.02$ を数式に代入します。

$a_{n} = 1000 \cdot {1.02}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 1000$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{2 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{1} = 1000 \cdot 1.02 = 1020$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{3 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{2} = 1000 \cdot 1.0404 = 1040.4$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{4 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{3} = 1000 \cdot 1.0612080000000002 = 1061.208$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{5 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{4} = 1000 \cdot 1.08243216 = 1082.43216$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{6 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{5} = 1000 \cdot 1.1040808032 = 1104.0808032$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{7 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{6} = 1000 \cdot 1.126162419264 = 1126.1624192640002$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{8 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{7} = 1000 \cdot 1.14868566764928 = 1148.68566764928$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{9 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{8} = 1000 \cdot 1.1716593810022657 = 1171.6593810022657$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{10 - 1} = 1000 \cdot {1.02}^{9} = 1000 \cdot 1.195092568622311 = 1195.092568622311$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列