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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 4

r=4

この級数の和は次のようになります:

s = - 682

s=-682

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = - 2 \cdot 4^{n - 1}

a_n=-2*4^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

- 2, - 8, - 32, - 128, - 512, - 2048, - 8192, - 32768, - 131072, - 524288

-2,-8,-32,-128,-512,-2048,-8192,-32768,-131072,-524288

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = - \frac{8}{-} 2 = 4$

$a_{3} a_{2} = - \frac{32}{-} 8 = 4$

$a_{4} a_{3} = - \frac{128}{-} 32 = 4$

$a_{5} a_{4} = - \frac{512}{-} 128 = 4$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 4$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = - 2$ 、共通比数: $r = 4$ 、そして要素の数 $n = 5$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{5} = - 2 * ((1 - 4^{5}) / (1 - 4))$

$s_{5} = - 2 * ((1 - 1024) / (1 - 4))$

$s_{5} = - 2 * (- 1023 / (1 - 4))$

$s_{5} = - 2 * (- 1023 / - 3)$

$s_{5} = - 2 \cdot 341$

$s_{5} = - 682$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = - 2$ と共通比数: $r = 4$ を数式に代入します。

$a_{n} = - 2 \cdot 4^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = - 2$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{2 - 1} = - 2 \cdot 4^{1} = - 2 \cdot 4 = - 8$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{3 - 1} = - 2 \cdot 4^{2} = - 2 \cdot 16 = - 32$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{4 - 1} = - 2 \cdot 4^{3} = - 2 \cdot 64 = - 128$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{5 - 1} = - 2 \cdot 4^{4} = - 2 \cdot 256 = - 512$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{6 - 1} = - 2 \cdot 4^{5} = - 2 \cdot 1024 = - 2048$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{7 - 1} = - 2 \cdot 4^{6} = - 2 \cdot 4096 = - 8192$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{8 - 1} = - 2 \cdot 4^{7} = - 2 \cdot 16384 = - 32768$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{9 - 1} = - 2 \cdot 4^{8} = - 2 \cdot 65536 = - 131072$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = - 2 \cdot 4^{10 - 1} = - 2 \cdot 4^{9} = - 2 \cdot 262144 = - 524288$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列