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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7878787878787878

r=0.7878787878787878

この級数の和は次のようになります:

s = 176

s=176

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{n - 1}

a_n=99*0.7878787878787878^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

99, 78, 61.45454545454545, 48.41873278236914, 38.148092495199926, 30.056072875006002, 23.680542265156244, 18.657396936183705, 14.699767283053827, 11.581634829072712

99,78,61.45454545454545,48.41873278236914,38.148092495199926,30.056072875006002,23.680542265156244,18.657396936183705,14.699767283053827,11.581634829072712

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{78}{99} = 0.7878787878787878$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7878787878787878$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 99$ 、共通比数: $r = 0.7878787878787878$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 99 * ((1 - {0.7878787878787878}^{2}) / (1 - 0.7878787878787878))$

$s_{2} = 99 * ((1 - 0.620752984389348) / (1 - 0.7878787878787878))$

$s_{2} = 99 * (0.379247015610652 / (1 - 0.7878787878787878))$

$s_{2} = 99 * (0.379247015610652 / 0.21212121212121215)$

$s_{2} = 99 \cdot 1.7878787878787876$

$s_{2} = 176.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 99$ と共通比数: $r = 0.7878787878787878$ を数式に代入します。

$a_{n} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 99$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{2 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{1} = 99 \cdot 0.7878787878787878 = 78$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{3 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{2} = 99 \cdot 0.620752984389348 = 61.45454545454545$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{4 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{3} = 99 \cdot 0.4890781089128196 = 48.41873278236914$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{5 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{4} = 99 \cdot 0.3853342676282821 = 38.148092495199926$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{6 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{5} = 99 \cdot 0.3035966957071313 = 30.056072875006002$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{7 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{6} = 99 \cdot 0.23919739661773984 = 23.680542265156244$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{8 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{7} = 99 \cdot 0.1884585549109465 = 18.657396936183705$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{9 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{8} = 99 \cdot 0.14848249780862452 = 14.699767283053827$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{10 - 1} = 99 \cdot {0.7878787878787878}^{9} = 99 \cdot 0.11698621039467386 = 11.581634829072712$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列