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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7272727272727273

r=0.7272727272727273

この級数の和は次のようになります:

s = 171

s=171

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{n - 1}

a_n=99*0.7272727272727273^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

99, 72, 52.36363636363637, 38.082644628099175, 27.696468820435765, 20.142886414862375, 14.649371938081728, 10.654088682241257, 7.748428132539096, 5.635220460028434

99,72,52.36363636363637,38.082644628099175,27.696468820435765,20.142886414862375,14.649371938081728,10.654088682241257,7.748428132539096,5.635220460028434

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{72}{99} = 0.7272727272727273$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7272727272727273$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 99$ 、共通比数: $r = 0.7272727272727273$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 99 * ((1 - {0.7272727272727273}^{2}) / (1 - 0.7272727272727273))$

$s_{2} = 99 * ((1 - 0.5289256198347108) / (1 - 0.7272727272727273))$

$s_{2} = 99 * (0.47107438016528924 / (1 - 0.7272727272727273))$

$s_{2} = 99 * (0.47107438016528924 / 0.2727272727272727)$

$s_{2} = 99 \cdot 1.7272727272727273$

$s_{2} = 171$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 99$ と共通比数: $r = 0.7272727272727273$ を数式に代入します。

$a_{n} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 99$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{2 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{1} = 99 \cdot 0.7272727272727273 = 72$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{3 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{2} = 99 \cdot 0.5289256198347108 = 52.36363636363637$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{4 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{3} = 99 \cdot 0.38467317806160783 = 38.082644628099175$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{5 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{4} = 99 \cdot 0.279762311317533 = 27.696468820435765$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{6 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{5} = 99 \cdot 0.20346349914002398 = 20.142886414862375$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{7 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{6} = 99 \cdot 0.14797345392001746 = 14.649371938081728$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{8 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{7} = 99 \cdot 0.10761705739637634 = 10.654088682241257$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{9 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{8} = 99 \cdot 0.07826695083372824 = 7.748428132539096$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{10 - 1} = 99 \cdot {0.7272727272727273}^{9} = 99 \cdot 0.056921418788166 = 5.635220460028434$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列