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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.29292929292929293

r=0.29292929292929293

この級数の和は次のようになります:

s = 128

s=128

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{n - 1}

a_n=99*0.29292929292929293^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

99, 29, 8.494949494949495, 2.48841954902561, 0.7289309790075018, 0.21352523627492476, 0.06254779648457393, 0.018322081798511552, 0.005367074466230657, 0.0015721733284918085

99,29,8.494949494949495,2.48841954902561,0.7289309790075018,0.21352523627492476,0.06254779648457393,0.018322081798511552,0.005367074466230657,0.0015721733284918085

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{29}{99} = 0.29292929292929293$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.29292929292929293$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 99$ 、共通比数: $r = 0.29292929292929293$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 99 * ((1 - {0.29292929292929293}^{2}) / (1 - 0.29292929292929293))$

$s_{2} = 99 * ((1 - 0.0858075706560555) / (1 - 0.29292929292929293))$

$s_{2} = 99 * (0.9141924293439445 / (1 - 0.29292929292929293))$

$s_{2} = 99 * (0.9141924293439445 / 0.7070707070707071)$

$s_{2} = 99 \cdot 1.292929292929293$

$s_{2} = 128$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 99$ と共通比数: $r = 0.29292929292929293$ を数式に代入します。

$a_{n} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 99$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{2 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{1} = 99 \cdot 0.29292929292929293 = 29$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{3 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{2} = 99 \cdot 0.0858075706560555 = 8.494949494949495$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{4 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{3} = 99 \cdot 0.025135551000258684 = 2.48841954902561$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{5 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{4} = 99 \cdot 0.007362939181893958 = 0.7289309790075018$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{6 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{5} = 99 \cdot 0.0021568205684335835 = 0.21352523627492476$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{7 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{6} = 99 \cdot 0.0006317959240866053 = 0.06254779648457393$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{8 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{7} = 99 \cdot 0.00018507153331829852 = 0.018322081798511552$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{9 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{8} = 99 \cdot 5.4212873396269264 E - 05 = 0.005367074466230657$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{10 - 1} = 99 \cdot {0.29292929292929293}^{9} = 99 \cdot 1.588053867163443 E - 05 = 0.0015721733284918085$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列