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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.020202020202020204

r=0.020202020202020204

この級数の和は次のようになります:

s = 100

s=100

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{n - 1}

a_n=99*0.020202020202020204^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

99, 2, 0.04040404040404041, 0.0008162432404856649, 1.6489762434053837 E - 05, 3.331265138192695 E - 07, 6.729828562005445 E - 09, 1.3595613256576657 E - 10, 2.7465885366821533 E - 12, 5.5486637104689975 E - 14

99,2,0.04040404040404041,0.0008162432404856649,1.6489762434053837E-05,3.331265138192695E-07,6.729828562005445E-09,1.3595613256576657E-10,2.7465885366821533E-12,5.5486637104689975E-14

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{2}{99} = 0.020202020202020204$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.020202020202020204$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 99$ 、共通比数: $r = 0.020202020202020204$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 99 * ((1 - {0.020202020202020204}^{2}) / (1 - 0.020202020202020204))$

$s_{2} = 99 * ((1 - 0.0004081216202428324) / (1 - 0.020202020202020204))$

$s_{2} = 99 * (0.9995918783797572 / (1 - 0.020202020202020204))$

$s_{2} = 99 * (0.9995918783797572 / 0.9797979797979798)$

$s_{2} = 99 \cdot 1.02020202020202$

$s_{2} = 100.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 99$ と共通比数: $r = 0.020202020202020204$ を数式に代入します。

$a_{n} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 99$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{2 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{1} = 99 \cdot 0.020202020202020204 = 2$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{3 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{2} = 99 \cdot 0.0004081216202428324 = 0.04040404040404041$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{4 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{3} = 99 \cdot 8.244881217026918 E - 06 = 0.0008162432404856649$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{5 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{4} = 99 \cdot 1.6656325690963473 E - 07 = 1.6489762434053837 E - 05$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{6 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{5} = 99 \cdot 3.364914281002722 E - 09 = 3.331265138192695 E - 07$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{7 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{6} = 99 \cdot 6.797806628288329 E - 11 = 6.729828562005445 E - 09$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{8 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{7} = 99 \cdot 1.3732942683410765 E - 12 = 1.3595613256576657 E - 10$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{9 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{8} = 99 \cdot 2.774331855234498 E - 14 = 2.7465885366821533 E - 12$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{10 - 1} = 99 \cdot {0.020202020202020204}^{9} = 99 \cdot 5.604710818655553 E - 16 = 5.5486637104689975 E - 14$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列