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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.2222222222222222

r=0.2222222222222222

この級数の和は次のようになります:

s = 109

s=109

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{n - 1}

a_n=90*0.2222222222222222^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

90, 20, 4.444444444444445, 0.987654320987654, 0.21947873799725648, 0.04877305288827921, 0.01083845619739538, 0.0024085458216434176, 0.0005352324048096483, 0.00011894053440214406

90,20,4.444444444444445,0.987654320987654,0.21947873799725648,0.04877305288827921,0.01083845619739538,0.0024085458216434176,0.0005352324048096483,0.00011894053440214406

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{20}{90} = 0.2222222222222222$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.2222222222222222$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 90$ 、共通比数: $r = 0.2222222222222222$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 90 * ((1 - {0.2222222222222222}^{2}) / (1 - 0.2222222222222222))$

$s_{2} = 90 * ((1 - 0.04938271604938271) / (1 - 0.2222222222222222))$

$s_{2} = 90 * (0.9506172839506173 / (1 - 0.2222222222222222))$

$s_{2} = 90 * (0.9506172839506173 / 0.7777777777777778)$

$s_{2} = 90 \cdot 1.222222222222222$

$s_{2} = 109.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 90$ と共通比数: $r = 0.2222222222222222$ を数式に代入します。

$a_{n} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 90$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{2 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{1} = 90 \cdot 0.2222222222222222 = 20$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{3 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{2} = 90 \cdot 0.04938271604938271 = 4.444444444444445$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{4 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{3} = 90 \cdot 0.010973936899862823 = 0.987654320987654$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{5 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{4} = 90 \cdot 0.002438652644413961 = 0.21947873799725648$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{6 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{5} = 90 \cdot 0.000541922809869769 = 0.04877305288827921$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{7 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{6} = 90 \cdot 0.00012042729108217089 = 0.01083845619739538$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{8 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{7} = 90 \cdot 2.6761620240482418 E - 05 = 0.0024085458216434176$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{9 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{8} = 90 \cdot 5.947026720107203 E - 06 = 0.0005352324048096483$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{10 - 1} = 90 \cdot {0.2222222222222222}^{9} = 90 \cdot 1.3215614933571563 E - 06 = 0.00011894053440214406$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列