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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8888888888888888

r=0.8888888888888888

この級数の和は次のようになります:

s = 16

s=16

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{n - 1}

a_n=9*0.8888888888888888^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

9, 8, 7.111111111111111, 6.320987654320986, 5.6186556927297655, 4.994360615759791, 4.439431658453148, 3.9461614741805753, 3.507699088160511, 3.1179547450315654

9,8,7.111111111111111,6.320987654320986,5.6186556927297655,4.994360615759791,4.439431658453148,3.9461614741805753,3.507699088160511,3.1179547450315654

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{8}{9} = 0.8888888888888888$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8888888888888888$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 9$ 、共通比数: $r = 0.8888888888888888$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 9 * ((1 - {0.8888888888888888}^{2}) / (1 - 0.8888888888888888))$

$s_{2} = 9 * ((1 - 0.7901234567901234) / (1 - 0.8888888888888888))$

$s_{2} = 9 * (0.2098765432098766 / (1 - 0.8888888888888888))$

$s_{2} = 9 * (0.2098765432098766 / 0.11111111111111116)$

$s_{2} = 9 \cdot 1.8888888888888884$

$s_{2} = 16.999999999999996$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 9$ と共通比数: $r = 0.8888888888888888$ を数式に代入します。

$a_{n} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 9$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{2 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{1} = 9 \cdot 0.8888888888888888 = 8$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{3 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{2} = 9 \cdot 0.7901234567901234 = 7.111111111111111$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{4 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{3} = 9 \cdot 0.7023319615912207 = 6.320987654320986$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{5 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{4} = 9 \cdot 0.624295076969974 = 5.6186556927297655$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{6 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{5} = 9 \cdot 0.5549289573066435 = 4.994360615759791$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{7 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{6} = 9 \cdot 0.49327018427257197 = 4.439431658453148$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{8 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{7} = 9 \cdot 0.43846238602006393 = 3.9461614741805753$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{9 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{8} = 9 \cdot 0.3897443431289457 = 3.507699088160511$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{10 - 1} = 9 \cdot {0.8888888888888888}^{9} = 9 \cdot 0.34643941611461837 = 3.1179547450315654$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列