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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 3.5555555555555554

r=3.5555555555555554

この級数の和は次のようになります:

s = 41

s=41

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{n - 1}

a_n=9*3.5555555555555554^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

9, 32, 113.77777777777777, 404.54320987654313, 1438.37585733882, 5114.225270538026, 18183.912073024094, 64653.909592974545, 229880.56744168725, 817353.1286815547

9,32,113.77777777777777,404.54320987654313,1438.37585733882,5114.225270538026,18183.912073024094,64653.909592974545,229880.56744168725,817353.1286815547

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{32}{9} = 3.5555555555555554$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 3.5555555555555554$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 9$ 、共通比数: $r = 3.5555555555555554$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 9 * ((1 - {3.5555555555555554}^{2}) / (1 - 3.5555555555555554))$

$s_{2} = 9 * ((1 - 12.641975308641975) / (1 - 3.5555555555555554))$

$s_{2} = 9 * (- 11.641975308641975 / (1 - 3.5555555555555554))$

$s_{2} = 9 * (- 11.641975308641975 / - 2.5555555555555554)$

$s_{2} = 9 \cdot 4.555555555555555$

$s_{2} = 41$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 9$ と共通比数: $r = 3.5555555555555554$ を数式に代入します。

$a_{n} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 9$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{2 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{1} = 9 \cdot 3.5555555555555554 = 32$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{3 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{2} = 9 \cdot 12.641975308641975 = 113.77777777777777$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{4 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{3} = 9 \cdot 44.949245541838124 = 404.54320987654313$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{5 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{4} = 9 \cdot 159.81953970431334 = 1438.37585733882$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{6 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{5} = 9 \cdot 568.2472522820029 = 5114.225270538026$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{7 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{6} = 9 \cdot 2020.4346747804548 = 18183.912073024094$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{8 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{7} = 9 \cdot 7183.7677325527275 = 64653.909592974545$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{9 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{8} = 9 \cdot 25542.285271298584 = 229880.56744168725$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{10 - 1} = 9 \cdot {3.5555555555555554}^{9} = 9 \cdot 90817.01429795052 = 817353.1286815547$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列