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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.7777777777777777

r=2.7777777777777777

この級数の和は次のようになります:

s = 34

s=34

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{n - 1}

a_n=9*2.7777777777777777^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

9, 25, 69.44444444444444, 192.9012345679012, 535.8367626886144, 1488.435451912818, 4134.54292198005, 11484.84144994458, 31902.337360957168, 88617.60378043658

9,25,69.44444444444444,192.9012345679012,535.8367626886144,1488.435451912818,4134.54292198005,11484.84144994458,31902.337360957168,88617.60378043658

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{25}{9} = 2.7777777777777777$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.7777777777777777$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 9$ 、共通比数: $r = 2.7777777777777777$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 9 * ((1 - {2.7777777777777777}^{2}) / (1 - 2.7777777777777777))$

$s_{2} = 9 * ((1 - 7.716049382716049) / (1 - 2.7777777777777777))$

$s_{2} = 9 * (- 6.716049382716049 / (1 - 2.7777777777777777))$

$s_{2} = 9 * (- 6.716049382716049 / - 1.7777777777777777)$

$s_{2} = 9 \cdot 3.7777777777777777$

$s_{2} = 34$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 9$ と共通比数: $r = 2.7777777777777777$ を数式に代入します。

$a_{n} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 9$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{2 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{1} = 9 \cdot 2.7777777777777777 = 25$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{3 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{2} = 9 \cdot 7.716049382716049 = 69.44444444444444$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{4 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{3} = 9 \cdot 21.43347050754458 = 192.9012345679012$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{5 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{4} = 9 \cdot 59.537418076512715 = 535.8367626886144$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{6 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{5} = 9 \cdot 165.381716879202 = 1488.435451912818$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{7 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{6} = 9 \cdot 459.3936579977833 = 4134.54292198005$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{8 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{7} = 9 \cdot 1276.0934944382868 = 11484.84144994458$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{9 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{8} = 9 \cdot 3544.7041512174633 = 31902.337360957168$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{10 - 1} = 9 \cdot {2.7777777777777777}^{9} = 9 \cdot 9846.400420048509 = 88617.60378043658$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列