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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.2098765432098766

r=1.2098765432098766

この級数の和は次のようになります:

s = 179

s=179

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{n - 1}

a_n=81*1.2098765432098766^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

81, 98, 118.56790123456791, 143.45252248132908, 173.55984201444755, 209.9859816964921, 254.05711365748425, 307.3777424497958, 371.8891204948146, 449.93992356162767

81,98,118.56790123456791,143.45252248132908,173.55984201444755,209.9859816964921,254.05711365748425,307.3777424497958,371.8891204948146,449.93992356162767

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{98}{81} = 1.2098765432098766$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.2098765432098766$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 81$ 、共通比数: $r = 1.2098765432098766$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 81 * ((1 - {1.2098765432098766}^{2}) / (1 - 1.2098765432098766))$

$s_{2} = 81 * ((1 - 1.4638012498094803) / (1 - 1.2098765432098766))$

$s_{2} = 81 * (- 0.46380124980948034 / (1 - 1.2098765432098766))$

$s_{2} = 81 * (- 0.46380124980948034 / - 0.2098765432098766)$

$s_{2} = 81 \cdot 2.2098765432098766$

$s_{2} = 179$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 81$ と共通比数: $r = 1.2098765432098766$ を数式に代入します。

$a_{n} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 81$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{2 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{1} = 81 \cdot 1.2098765432098766 = 98$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{3 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{2} = 81 \cdot 1.4638012498094803 = 118.56790123456791$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{4 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{3} = 81 \cdot 1.771018796065791 = 143.45252248132908$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{5 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{4} = 81 \cdot 2.142714098943797 = 173.55984201444755$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{6 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{5} = 81 \cdot 2.5924195271171864 = 209.9859816964921$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{7 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{6} = 81 \cdot 3.136507576018324 = 254.05711365748425$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{8 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{7} = 81 \cdot 3.7947869438246395 = 307.3777424497958$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{9 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{8} = 81 \cdot 4.591223709812526 = 371.8891204948146$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{10 - 1} = 81 \cdot {1.2098765432098766}^{9} = 81 \cdot 5.554813871131206 = 449.93992356162767$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列