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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8395061728395061

r=0.8395061728395061

この級数の和は次のようになります:

s = 149

s=149

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{n - 1}

a_n=81*0.8395061728395061^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

81, 68, 57.08641975308641, 47.92440176802315, 40.23283111389598, 33.77571007092502, 28.35491709657903, 23.80412793293054, 19.9837123387565, 16.776449864635087

81,68,57.08641975308641,47.92440176802315,40.23283111389598,33.77571007092502,28.35491709657903,23.80412793293054,19.9837123387565,16.776449864635087

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{68}{81} = 0.8395061728395061$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8395061728395061$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 81$ 、共通比数: $r = 0.8395061728395061$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 81 * ((1 - {0.8395061728395061}^{2}) / (1 - 0.8395061728395061))$

$s_{2} = 81 * ((1 - 0.7047706142356347) / (1 - 0.8395061728395061))$

$s_{2} = 81 * (0.2952293857643653 / (1 - 0.8395061728395061))$

$s_{2} = 81 * (0.2952293857643653 / 0.16049382716049387)$

$s_{2} = 81 \cdot 1.8395061728395063$

$s_{2} = 149$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 81$ と共通比数: $r = 0.8395061728395061$ を数式に代入します。

$a_{n} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 81$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{2 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{1} = 81 \cdot 0.8395061728395061 = 68$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{3 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{2} = 81 \cdot 0.7047706142356347 = 57.08641975308641$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{4 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{3} = 81 \cdot 0.5916592810867056 = 47.92440176802315$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{5 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{4} = 81 \cdot 0.49670161869007384 = 40.23283111389598$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{6 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{5} = 81 \cdot 0.41698407494969164 = 33.77571007092502$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{7 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{6} = 81 \cdot 0.3500607048960374 = 28.35491709657903$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{8 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{7} = 81 \cdot 0.2938781226287721 = 23.80412793293054$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{9 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{8} = 81 \cdot 0.24671249800933953 = 19.9837123387565$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{10 - 1} = 81 \cdot {0.8395061728395061}^{9} = 81 \cdot 0.20711666499549491 = 16.776449864635087$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列