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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4938271604938271

r=1.4938271604938271

この級数の和は次のようになります:

s = 201

s=201

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{n - 1}

a_n=81*1.4938271604938271^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

81, 121, 180.75308641975306, 270.0138698369151, 403.35405247242875, 602.5412388785663, 900.0924679544016, 1344.5825755862047, 2008.5739709374168, 3000.4623516472525

81,121,180.75308641975306,270.0138698369151,403.35405247242875,602.5412388785663,900.0924679544016,1344.5825755862047,2008.5739709374168,3000.4623516472525

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{121}{81} = 1.4938271604938271$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4938271604938271$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 81$ 、共通比数: $r = 1.4938271604938271$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 81 * ((1 - {1.4938271604938271}^{2}) / (1 - 1.4938271604938271))$

$s_{2} = 81 * ((1 - 2.23151958542905) / (1 - 1.4938271604938271))$

$s_{2} = 81 * (- 1.2315195854290502 / (1 - 1.4938271604938271))$

$s_{2} = 81 * (- 1.2315195854290502 / - 0.49382716049382713)$

$s_{2} = 81 \cdot 2.4938271604938267$

$s_{2} = 201.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 81$ と共通比数: $r = 1.4938271604938271$ を数式に代入します。

$a_{n} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 81$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{2 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{1} = 81 \cdot 1.4938271604938271 = 121$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{3 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{2} = 81 \cdot 2.23151958542905 = 180.75308641975306$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{4 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{3} = 81 \cdot 3.3335045658878406 = 270.0138698369151$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{5 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{4} = 81 \cdot 4.979679660153441 = 403.35405247242875$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{6 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{5} = 81 \cdot 7.438780726895881 = 602.5412388785663$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{7 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{6} = 81 \cdot 11.112252690795081 = 900.0924679544016$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{8 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{7} = 81 \cdot 16.599784883780305 = 1344.5825755862047$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{9 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{8} = 81 \cdot 24.797209517745888 = 2008.5739709374168$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{10 - 1} = 81 \cdot {1.4938271604938271}^{9} = 81 \cdot 37.04274508206485 = 3000.4623516472525$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列