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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.8125

r=0.8125

この級数の和は次のようになります:

s = 145

s=145

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 80 \cdot {0.8125}^{n - 1}

a_n=80*0.8125^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

80, 65, 52.8125, 42.91015625, 34.864501953125, 28.327407836914062, 23.016018867492676, 18.7005153298378, 15.194168705493212, 12.345262073213235

80,65,52.8125,42.91015625,34.864501953125,28.327407836914062,23.016018867492676,18.7005153298378,15.194168705493212,12.345262073213235

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{65}{80} = 0.8125$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.8125$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 80$ 、共通比数: $r = 0.8125$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 80 * ((1 - {0.8125}^{2}) / (1 - 0.8125))$

$s_{2} = 80 * ((1 - 0.66015625) / (1 - 0.8125))$

$s_{2} = 80 * (0.33984375 / (1 - 0.8125))$

$s_{2} = 80 * (0.33984375 / 0.1875)$

$s_{2} = 80 \cdot 1.8125$

$s_{2} = 145$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 80$ と共通比数: $r = 0.8125$ を数式に代入します。

$a_{n} = 80 \cdot {0.8125}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 80$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{2 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{1} = 80 \cdot 0.8125 = 65$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{3 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{2} = 80 \cdot 0.66015625 = 52.8125$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{4 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{3} = 80 \cdot 0.536376953125 = 42.91015625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{5 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{4} = 80 \cdot 0.4358062744140625 = 34.864501953125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{6 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{5} = 80 \cdot 0.3540925979614258 = 28.327407836914062$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{7 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{6} = 80 \cdot 0.28770023584365845 = 23.016018867492676$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{8 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{7} = 80 \cdot 0.2337564416229725 = 18.7005153298378$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{9 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{8} = 80 \cdot 0.18992710881866515 = 15.194168705493212$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{10 - 1} = 80 \cdot {0.8125}^{9} = 80 \cdot 0.15431577591516543 = 12.345262073213235$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列