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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6538461538461539

r=0.6538461538461539

この級数の和は次のようになります:

s = 129

s=129

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{n - 1}

a_n=78*0.6538461538461539^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

78, 51, 33.34615384615385, 21.803254437869825, 14.255974055530269, 9.321213805539022, 6.0946397959293614, 3.9849567896461204, 2.6055486701532327, 1.7036279766386522

78,51,33.34615384615385,21.803254437869825,14.255974055530269,9.321213805539022,6.0946397959293614,3.9849567896461204,2.6055486701532327,1.7036279766386522

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{51}{78} = 0.6538461538461539$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6538461538461539$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 78$ 、共通比数: $r = 0.6538461538461539$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 78 * ((1 - {0.6538461538461539}^{2}) / (1 - 0.6538461538461539))$

$s_{2} = 78 * ((1 - 0.4275147928994083) / (1 - 0.6538461538461539))$

$s_{2} = 78 * (0.5724852071005917 / (1 - 0.6538461538461539))$

$s_{2} = 78 * (0.5724852071005917 / 0.34615384615384615)$

$s_{2} = 78 \cdot 1.6538461538461537$

$s_{2} = 129$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 78$ と共通比数: $r = 0.6538461538461539$ を数式に代入します。

$a_{n} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 78$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{2 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{1} = 78 \cdot 0.6538461538461539 = 51$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{3 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{2} = 78 \cdot 0.4275147928994083 = 33.34615384615385$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{4 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{3} = 78 \cdot 0.27952890304961314 = 21.803254437869825$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{5 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{4} = 78 \cdot 0.18276889814782396 = 14.255974055530269$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{6 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{5} = 78 \cdot 0.11950274109665414 = 9.321213805539022$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{7 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{6} = 78 \cdot 0.07813640764012002 = 6.0946397959293614$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{8 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{7} = 78 \cdot 0.0510891896108477 = 3.9849567896461204$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{9 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{8} = 78 \cdot 0.03340447013016965 = 2.6055486701532327$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{10 - 1} = 78 \cdot {0.6538461538461539}^{9} = 78 \cdot 0.021841384315880157 = 1.7036279766386522$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列