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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7272727272727273

r=0.7272727272727273

この級数の和は次のようになります:

s = 133

s=133

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{n - 1}

a_n=77*0.7272727272727273^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

77, 56, 40.72727272727273, 29.619834710743802, 21.54169797145004, 15.666689433781848, 11.393955951841344, 8.286513419520977, 6.026555214197074, 4.382949246688782

77,56,40.72727272727273,29.619834710743802,21.54169797145004,15.666689433781848,11.393955951841344,8.286513419520977,6.026555214197074,4.382949246688782

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{56}{77} = 0.7272727272727273$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7272727272727273$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 77$ 、共通比数: $r = 0.7272727272727273$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 77 * ((1 - {0.7272727272727273}^{2}) / (1 - 0.7272727272727273))$

$s_{2} = 77 * ((1 - 0.5289256198347108) / (1 - 0.7272727272727273))$

$s_{2} = 77 * (0.47107438016528924 / (1 - 0.7272727272727273))$

$s_{2} = 77 * (0.47107438016528924 / 0.2727272727272727)$

$s_{2} = 77 \cdot 1.7272727272727273$

$s_{2} = 133$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 77$ と共通比数: $r = 0.7272727272727273$ を数式に代入します。

$a_{n} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 77$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{2 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{1} = 77 \cdot 0.7272727272727273 = 56$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{3 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{2} = 77 \cdot 0.5289256198347108 = 40.72727272727273$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{4 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{3} = 77 \cdot 0.38467317806160783 = 29.619834710743802$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{5 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{4} = 77 \cdot 0.279762311317533 = 21.54169797145004$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{6 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{5} = 77 \cdot 0.20346349914002398 = 15.666689433781848$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{7 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{6} = 77 \cdot 0.14797345392001746 = 11.393955951841344$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{8 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{7} = 77 \cdot 0.10761705739637634 = 8.286513419520977$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{9 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{8} = 77 \cdot 0.07826695083372824 = 6.026555214197074$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{10 - 1} = 77 \cdot {0.7272727272727273}^{9} = 77 \cdot 0.056921418788166 = 4.382949246688782$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列