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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6049382716049383

r=1.6049382716049383

この級数の和は次のようになります:

s = 1899

s=1899

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{n - 1}

a_n=729*1.6049382716049383^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

729, 1170, 1877.7777777777778, 3013.7174211248284, 4836.830428965774, 7762.814268710503, 12458.837715214388, 19995.665468862597, 32091.80877718688, 51505.37211153451

729,1170,1877.7777777777778,3013.7174211248284,4836.830428965774,7762.814268710503,12458.837715214388,19995.665468862597,32091.80877718688,51505.37211153451

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{1170}{729} = 1.6049382716049383$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6049382716049383$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 729$ 、共通比数: $r = 1.6049382716049383$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 729 * ((1 - {1.6049382716049383}^{2}) / (1 - 1.6049382716049383))$

$s_{2} = 729 * ((1 - 2.5758268556622466) / (1 - 1.6049382716049383))$

$s_{2} = 729 * (- 1.5758268556622466 / (1 - 1.6049382716049383))$

$s_{2} = 729 * (- 1.5758268556622466 / - 0.6049382716049383)$

$s_{2} = 729 \cdot 2.6049382716049383$

$s_{2} = 1899$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 729$ と共通比数: $r = 1.6049382716049383$ を数式に代入します。

$a_{n} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 729$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{2 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{1} = 729 \cdot 1.6049382716049383 = 1170$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{3 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{2} = 729 \cdot 2.5758268556622466 = 1877.7777777777778$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{4 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{3} = 729 \cdot 4.134043101680149 = 3013.7174211248284$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{5 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{4} = 729 \cdot 6.634883990350857 = 4836.830428965774$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{6 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{5} = 729 \cdot 10.64857924377298 = 7762.814268710503$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{7 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{6} = 729 \cdot 17.090312366549227 = 12458.837715214388$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{8 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{7} = 729 \cdot 27.42889639075802 = 19995.665468862597$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{9 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{8} = 729 \cdot 44.0216855654141 = 32091.80877718688$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{10 - 1} = 729 \cdot {1.6049382716049383}^{9} = 729 \cdot 70.65208794449178 = 51505.37211153451$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列