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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.39436619718309857

r=0.39436619718309857

この級数の和は次のようになります:

s = 99

s=99

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{n - 1}

a_n=71*0.39436619718309857^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

71, 27.999999999999996, 11.04225352112676, 4.35469152945844, 1.7173431383779763, 0.6772620827406103, 0.2670892720667195, 0.10533098053335418, 0.04153897823850587, 0.016381568882791048

71,27.999999999999996,11.04225352112676,4.35469152945844,1.7173431383779763,0.6772620827406103,0.2670892720667195,0.10533098053335418,0.04153897823850587,0.016381568882791048

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{28}{71} = 0.39436619718309857$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.39436619718309857$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 71$ 、共通比数: $r = 0.39436619718309857$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 71 * ((1 - {0.39436619718309857}^{2}) / (1 - 0.39436619718309857))$

$s_{2} = 71 * ((1 - 0.15552469748065859) / (1 - 0.39436619718309857))$

$s_{2} = 71 * (0.8444753025193414 / (1 - 0.39436619718309857))$

$s_{2} = 71 * (0.8444753025193414 / 0.6056338028169015)$

$s_{2} = 71 \cdot 1.3943661971830985$

$s_{2} = 99$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 71$ と共通比数: $r = 0.39436619718309857$ を数式に代入します。

$a_{n} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 71$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{2 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{1} = 71 \cdot 0.39436619718309857 = 27.999999999999996$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{3 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{2} = 71 \cdot 0.15552469748065859 = 11.04225352112676$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{4 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{3} = 71 \cdot 0.06133368351349915 = 4.35469152945844$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{5 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{4} = 71 \cdot 0.02418793152645037 = 1.7173431383779763$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{6 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{5} = 71 \cdot 0.009538902573811412 = 0.6772620827406103$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{7 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{6} = 71 \cdot 0.003761820733334078 = 0.2670892720667195$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{8 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{7} = 71 \cdot 0.0014835349370894955 = 0.10533098053335418$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{9 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{8} = 71 \cdot 0.0005850560315282517 = 0.04153897823850587$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{10 - 1} = 71 \cdot {0.39436619718309857}^{9} = 71 \cdot 0.00023072632229283164 = 0.016381568882791048$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列