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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.1428571428571428

r=1.1428571428571428

この級数の和は次のようになります:

s = 150

s=150

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{n - 1}

a_n=70*1.1428571428571428^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

70, 80, 91.42857142857142, 104.48979591836734, 119.41690962099123, 136.4764681382757, 155.9731064437436, 178.25497879284984, 203.71997576325697, 232.8228294437222

70,80,91.42857142857142,104.48979591836734,119.41690962099123,136.4764681382757,155.9731064437436,178.25497879284984,203.71997576325697,232.8228294437222

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{80}{70} = 1.1428571428571428$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.1428571428571428$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 70$ 、共通比数: $r = 1.1428571428571428$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 70 * ((1 - {1.1428571428571428}^{2}) / (1 - 1.1428571428571428))$

$s_{2} = 70 * ((1 - 1.3061224489795917) / (1 - 1.1428571428571428))$

$s_{2} = 70 * (- 0.30612244897959173 / (1 - 1.1428571428571428))$

$s_{2} = 70 * (- 0.30612244897959173 / - 0.1428571428571428)$

$s_{2} = 70 \cdot 2.1428571428571432$

$s_{2} = 150.00000000000003$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 70$ と共通比数: $r = 1.1428571428571428$ を数式に代入します。

$a_{n} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 70$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{2 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{1} = 70 \cdot 1.1428571428571428 = 80$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{3 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{2} = 70 \cdot 1.3061224489795917 = 91.42857142857142$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{4 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{3} = 70 \cdot 1.4927113702623904 = 104.48979591836734$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{5 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{4} = 70 \cdot 1.705955851728446 = 119.41690962099123$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{6 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{5} = 70 \cdot 1.9496638305467955 = 136.4764681382757$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{7 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{6} = 70 \cdot 2.228187234910623 = 155.9731064437436$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{8 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{7} = 70 \cdot 2.546499697040712 = 178.25497879284984$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{9 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{8} = 70 \cdot 2.910285368046528 = 203.71997576325697$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{10 - 1} = 70 \cdot {1.1428571428571428}^{9} = 70 \cdot 3.326040420624603 = 232.8228294437222$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列