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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6857142857142857

r=0.6857142857142857

この級数の和は次のようになります:

s = 117

s=117

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{n - 1}

a_n=70*0.6857142857142857^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

70, 48, 32.91428571428572, 22.569795918367348, 15.476431486880468, 10.61241016243232, 7.277081254239305, 4.989998574335523, 3.421713308115788, 2.3463176969936828

70,48,32.91428571428572,22.569795918367348,15.476431486880468,10.61241016243232,7.277081254239305,4.989998574335523,3.421713308115788,2.3463176969936828

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{48}{70} = 0.6857142857142857$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6857142857142857$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 70$ 、共通比数: $r = 0.6857142857142857$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 70 * ((1 - {0.6857142857142857}^{2}) / (1 - 0.6857142857142857))$

$s_{2} = 70 * ((1 - 0.4702040816326531) / (1 - 0.6857142857142857))$

$s_{2} = 70 * (0.5297959183673469 / (1 - 0.6857142857142857))$

$s_{2} = 70 * (0.5297959183673469 / 0.3142857142857143)$

$s_{2} = 70 \cdot 1.6857142857142855$

$s_{2} = 117.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 70$ と共通比数: $r = 0.6857142857142857$ を数式に代入します。

$a_{n} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 70$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{2 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{1} = 70 \cdot 0.6857142857142857 = 48$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{3 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{2} = 70 \cdot 0.4702040816326531 = 32.91428571428572$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{4 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{3} = 70 \cdot 0.3224256559766764 = 22.569795918367348$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{5 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{4} = 70 \cdot 0.22109187838400668 = 15.476431486880468$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{6 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{5} = 70 \cdot 0.15160585946331886 = 10.61241016243232$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{7 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{6} = 70 \cdot 0.10395830363199007 = 7.277081254239305$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{8 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{7} = 70 \cdot 0.07128569391907891 = 4.989998574335523$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{9 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{8} = 70 \cdot 0.0488816186873684 = 3.421713308115788$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{10 - 1} = 70 \cdot {0.6857142857142857}^{9} = 70 \cdot 0.0335188242427669 = 2.3463176969936828$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列