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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.5142857142857142

r=0.5142857142857142

この級数の和は次のようになります:

s = 106

s=106

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{n - 1}

a_n=70*0.5142857142857142^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

70, 36, 18.514285714285712, 9.521632653061221, 4.896839650145771, 2.5183746772178246, 1.295164119712024, 0.6660844044233265, 0.34255769370342504, 0.17617252819033286

70,36,18.514285714285712,9.521632653061221,4.896839650145771,2.5183746772178246,1.295164119712024,0.6660844044233265,0.34255769370342504,0.17617252819033286

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{36}{70} = 0.5142857142857142$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.5142857142857142$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 70$ 、共通比数: $r = 0.5142857142857142$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 70 * ((1 - {0.5142857142857142}^{2}) / (1 - 0.5142857142857142))$

$s_{2} = 70 * ((1 - 0.2644897959183673) / (1 - 0.5142857142857142))$

$s_{2} = 70 * (0.7355102040816327 / (1 - 0.5142857142857142))$

$s_{2} = 70 * (0.7355102040816327 / 0.48571428571428577)$

$s_{2} = 70 \cdot 1.5142857142857142$

$s_{2} = 106$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 70$ と共通比数: $r = 0.5142857142857142$ を数式に代入します。

$a_{n} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 70$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{2 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{1} = 70 \cdot 0.5142857142857142 = 36$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{3 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{2} = 70 \cdot 0.2644897959183673 = 18.514285714285712$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{4 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{3} = 70 \cdot 0.1360233236151603 = 9.521632653061221$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{5 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{4} = 70 \cdot 0.06995485214493959 = 4.896839650145771$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{6 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{5} = 70 \cdot 0.03597678110311178 = 2.5183746772178246$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{7 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{6} = 70 \cdot 0.01850234456731463 = 1.295164119712024$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{8 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{7} = 70 \cdot 0.009515491491761808 = 0.6660844044233265$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{9 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{8} = 70 \cdot 0.004893681338620358 = 0.34255769370342504$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{10 - 1} = 70 \cdot {0.5142857142857142}^{9} = 70 \cdot 0.0025167504027190407 = 0.17617252819033286$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列