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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.42857142857142855

r=0.42857142857142855

この級数の和は次のようになります:

s = 10

s=10

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{n - 1}

a_n=7*0.42857142857142855^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

7, 3, 1.2857142857142856, 0.5510204081632653, 0.23615160349854222, 0.1012078300708038, 0.043374784316058776, 0.0185891932783109, 0.0079667971192761, 0.0034143416225469

7,3,1.2857142857142856,0.5510204081632653,0.23615160349854222,0.1012078300708038,0.043374784316058776,0.0185891932783109,0.0079667971192761,0.0034143416225469

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{3}{7} = 0.42857142857142855$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.42857142857142855$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 7$ 、共通比数: $r = 0.42857142857142855$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 7 * ((1 - {0.42857142857142855}^{2}) / (1 - 0.42857142857142855))$

$s_{2} = 7 * ((1 - 0.18367346938775508) / (1 - 0.42857142857142855))$

$s_{2} = 7 * (0.8163265306122449 / (1 - 0.42857142857142855))$

$s_{2} = 7 * (0.8163265306122449 / 0.5714285714285714)$

$s_{2} = 7 \cdot 1.4285714285714286$

$s_{2} = 10$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 7$ と共通比数: $r = 0.42857142857142855$ を数式に代入します。

$a_{n} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 7$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{2 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{1} = 7 \cdot 0.42857142857142855 = 3$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{3 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{2} = 7 \cdot 0.18367346938775508 = 1.2857142857142856$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{4 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{3} = 7 \cdot 0.07871720116618075 = 0.5510204081632653$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{5 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{4} = 7 \cdot 0.033735943356934604 = 0.23615160349854222$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{6 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{5} = 7 \cdot 0.014458261438686257 = 0.1012078300708038$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{7 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{6} = 7 \cdot 0.0061963977594369675 = 0.043374784316058776$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{8 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{7} = 7 \cdot 0.0026555990397587 = 0.0185891932783109$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{9 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{8} = 7 \cdot 0.0011381138741823 = 0.0079667971192761$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{10 - 1} = 7 \cdot {0.42857142857142855}^{9} = 7 \cdot 0.0004877630889352714 = 0.0034143416225469$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列