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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4202898550724639

r=1.4202898550724639

この級数の和は次のようになります:

s = 166

s=166

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{n - 1}

a_n=69*1.4202898550724639^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

69, 98, 139.18840579710147, 197.68788069733253, 280.7740914251969, 398.7805936183957, 566.3840315159823, 804.4294940371923, 1142.5230495020992, 1622.713896394286

69,98,139.18840579710147,197.68788069733253,280.7740914251969,398.7805936183957,566.3840315159823,804.4294940371923,1142.5230495020992,1622.713896394286

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{98}{69} = 1.4202898550724639$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4202898550724639$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 69$ 、共通比数: $r = 1.4202898550724639$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 69 * ((1 - {1.4202898550724639}^{2}) / (1 - 1.4202898550724639))$

$s_{2} = 69 * ((1 - 2.0172232724217602) / (1 - 1.4202898550724639))$

$s_{2} = 69 * (- 1.0172232724217602 / (1 - 1.4202898550724639))$

$s_{2} = 69 * (- 1.0172232724217602 / - 0.42028985507246386)$

$s_{2} = 69 \cdot 2.4202898550724634$

$s_{2} = 166.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 69$ と共通比数: $r = 1.4202898550724639$ を数式に代入します。

$a_{n} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 69$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{2 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{1} = 69 \cdot 1.4202898550724639 = 98$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{3 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{2} = 69 \cdot 2.0172232724217602 = 139.18840579710147$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{4 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{3} = 69 \cdot 2.8650417492367035 = 197.68788069733253$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{5 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{4} = 69 \cdot 4.069189730799955 = 280.7740914251969$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{6 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{5} = 69 \cdot 5.779428893020228 = 398.7805936183957$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{7 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{6} = 69 \cdot 8.208464224869308 = 566.3840315159823$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{8 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{7} = 69 \cdot 11.658398464307135 = 804.4294940371923$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{9 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{8} = 69 \cdot 16.558305065247815 = 1142.5230495020992$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{10 - 1} = 69 \cdot {1.4202898550724639}^{9} = 69 \cdot 23.517592701366464 = 1622.713896394286$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列