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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.7076923076923077

r=0.7076923076923077

この級数の和は次のようになります:

s = 111

s=111

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{n - 1}

a_n=65*0.7076923076923077^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

65, 46, 32.55384615384616, 23.038106508875742, 16.303890760127448, 11.538138076397887, 8.165451561758506, 5.778627259090635, 4.089490060279527, 2.894100658043973

65,46,32.55384615384616,23.038106508875742,16.303890760127448,11.538138076397887,8.165451561758506,5.778627259090635,4.089490060279527,2.894100658043973

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{46}{65} = 0.7076923076923077$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.7076923076923077$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 65$ 、共通比数: $r = 0.7076923076923077$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 65 * ((1 - {0.7076923076923077}^{2}) / (1 - 0.7076923076923077))$

$s_{2} = 65 * ((1 - 0.500828402366864) / (1 - 0.7076923076923077))$

$s_{2} = 65 * (0.499171597633136 / (1 - 0.7076923076923077))$

$s_{2} = 65 * (0.499171597633136 / 0.29230769230769227)$

$s_{2} = 65 \cdot 1.7076923076923076$

$s_{2} = 111$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 65$ と共通比数: $r = 0.7076923076923077$ を数式に代入します。

$a_{n} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 65$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{2 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{1} = 65 \cdot 0.7076923076923077 = 46$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{3 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{2} = 65 \cdot 0.500828402366864 = 32.55384615384616$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{4 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{3} = 65 \cdot 0.3544324078288576 = 23.038106508875742$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{5 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{4} = 65 \cdot 0.2508290886173454 = 16.303890760127448$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{6 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{5} = 65 \cdot 0.1775098165599675 = 11.538138076397887$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{7 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{6} = 65 \cdot 0.12562233171936163 = 8.165451561758506$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{8 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{7} = 65 \cdot 0.08890195783216362 = 5.778627259090635$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{9 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{8} = 65 \cdot 0.0629152316966081 = 4.089490060279527$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{10 - 1} = 65 \cdot {0.7076923076923077}^{9} = 65 \cdot 0.04452462550836882 = 2.894100658043973$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列