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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.65625

r=0.65625

この級数の和は次のようになります:

s = 106

s=106

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 64 \cdot {0.65625}^{n - 1}

a_n=64*0.65625^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

64, 42, 27.5625, 18.087890625, 11.87017822265625, 7.789804458618164, 5.11205917596817, 3.3547888342291117, 2.2015801724628545, 1.4447869881787483

64,42,27.5625,18.087890625,11.87017822265625,7.789804458618164,5.11205917596817,3.3547888342291117,2.2015801724628545,1.4447869881787483

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{42}{64} = 0.65625$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.65625$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 64$ 、共通比数: $r = 0.65625$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 64 * ((1 - {0.65625}^{2}) / (1 - 0.65625))$

$s_{2} = 64 * ((1 - 0.4306640625) / (1 - 0.65625))$

$s_{2} = 64 * (0.5693359375 / (1 - 0.65625))$

$s_{2} = 64 * (0.5693359375 / 0.34375)$

$s_{2} = 64 \cdot 1.65625$

$s_{2} = 106$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 64$ と共通比数: $r = 0.65625$ を数式に代入します。

$a_{n} = 64 \cdot {0.65625}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 64$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{2 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{1} = 64 \cdot 0.65625 = 42$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{3 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{2} = 64 \cdot 0.4306640625 = 27.5625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{4 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{3} = 64 \cdot 0.282623291015625 = 18.087890625$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{5 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{4} = 64 \cdot 0.1854715347290039 = 11.87017822265625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{6 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{5} = 64 \cdot 0.12171569466590881 = 7.789804458618164$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{7 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{6} = 64 \cdot 0.07987592462450266 = 5.11205917596817$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{8 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{7} = 64 \cdot 0.05241857553482987 = 3.3547888342291117$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{9 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{8} = 64 \cdot 0.0343996901947321 = 2.2015801724628545$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{10 - 1} = 64 \cdot {0.65625}^{9} = 64 \cdot 0.022574796690292942 = 1.4447869881787483$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列