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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.421875

r=0.421875

この級数の和は次のようになります:

s = 91

s=91

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 64 \cdot {0.421875}^{n - 1}

a_n=64*0.421875^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

64, 27, 11.390625, 4.805419921875, 2.0272865295410156, 0.855261504650116, 0.3608134472742677, 0.15221817306883167, 0.06421704176341336, 0.027091564493940012

64,27,11.390625,4.805419921875,2.0272865295410156,0.855261504650116,0.3608134472742677,0.15221817306883167,0.06421704176341336,0.027091564493940012

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{27}{64} = 0.421875$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.421875$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 64$ 、共通比数: $r = 0.421875$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 64 * ((1 - {0.421875}^{2}) / (1 - 0.421875))$

$s_{2} = 64 * ((1 - 0.177978515625) / (1 - 0.421875))$

$s_{2} = 64 * (0.822021484375 / (1 - 0.421875))$

$s_{2} = 64 * (0.822021484375 / 0.578125)$

$s_{2} = 64 \cdot 1.421875$

$s_{2} = 91$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 64$ と共通比数: $r = 0.421875$ を数式に代入します。

$a_{n} = 64 \cdot {0.421875}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 64$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{2 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{1} = 64 \cdot 0.421875 = 27$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{3 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{2} = 64 \cdot 0.177978515625 = 11.390625$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{4 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{3} = 64 \cdot 0.07508468627929688 = 4.805419921875$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{5 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{4} = 64 \cdot 0.03167635202407837 = 2.0272865295410156$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{6 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{5} = 64 \cdot 0.013363461010158062 = 0.855261504650116$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{7 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{6} = 64 \cdot 0.005637710113660432 = 0.3608134472742677$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{8 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{7} = 64 \cdot 0.002378408954200495 = 0.15221817306883167$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{9 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{8} = 64 \cdot 0.0010033912775533338 = 0.06421704176341336$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{10 - 1} = 64 \cdot {0.421875}^{9} = 64 \cdot 0.0004233056952178127 = 0.027091564493940012$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列