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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.3125

r=2.3125

この級数の和は次のようになります:

s = 212

s=212

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 64 \cdot {2.3125}^{n - 1}

a_n=64*2.3125^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

64, 148, 342.25, 791.453125, 1830.2353515625, 4232.419250488281, 9787.46951675415, 22633.523257493973, 52340.02253295481, 121036.302107458

64,148,342.25,791.453125,1830.2353515625,4232.419250488281,9787.46951675415,22633.523257493973,52340.02253295481,121036.302107458

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{148}{64} = 2.3125$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.3125$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 64$ 、共通比数: $r = 2.3125$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 64 * ((1 - {2.3125}^{2}) / (1 - 2.3125))$

$s_{2} = 64 * ((1 - 5.34765625) / (1 - 2.3125))$

$s_{2} = 64 * (- 4.34765625 / (1 - 2.3125))$

$s_{2} = 64 * (- 4.34765625 / - 1.3125)$

$s_{2} = 64 \cdot 3.3125$

$s_{2} = 212$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 64$ と共通比数: $r = 2.3125$ を数式に代入します。

$a_{n} = 64 \cdot {2.3125}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 64$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{2 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{1} = 64 \cdot 2.3125 = 148$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{3 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{2} = 64 \cdot 5.34765625 = 342.25$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{4 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{3} = 64 \cdot 12.366455078125 = 791.453125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{5 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{4} = 64 \cdot 28.597427368164062 = 1830.2353515625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{6 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{5} = 64 \cdot 66.1315507888794 = 4232.419250488281$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{7 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{6} = 64 \cdot 152.9292111992836 = 9787.46951675415$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{8 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{7} = 64 \cdot 353.6488008983433 = 22633.523257493973$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{9 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{8} = 64 \cdot 817.8128520774189 = 52340.02253295481$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{10 - 1} = 64 \cdot {2.3125}^{9} = 64 \cdot 1891.1922204290313 = 121036.302107458$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列