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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6875

r=1.6875

この級数の和は次のようになります:

s = 172

s=172

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 64 \cdot {1.6875}^{n - 1}

a_n=64*1.6875^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

64, 108, 182.25, 307.546875, 518.9853515625, 875.7877807617188, 1477.8918800354004, 2493.942547559738, 4208.528049007058, 7101.891082699411

64,108,182.25,307.546875,518.9853515625,875.7877807617188,1477.8918800354004,2493.942547559738,4208.528049007058,7101.891082699411

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{108}{64} = 1.6875$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6875$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 64$ 、共通比数: $r = 1.6875$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 64 * ((1 - {1.6875}^{2}) / (1 - 1.6875))$

$s_{2} = 64 * ((1 - 2.84765625) / (1 - 1.6875))$

$s_{2} = 64 * (- 1.84765625 / (1 - 1.6875))$

$s_{2} = 64 * (- 1.84765625 / - 0.6875)$

$s_{2} = 64 \cdot 2.6875$

$s_{2} = 172$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 64$ と共通比数: $r = 1.6875$ を数式に代入します。

$a_{n} = 64 \cdot {1.6875}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 64$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{2 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{1} = 64 \cdot 1.6875 = 108$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{3 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{2} = 64 \cdot 2.84765625 = 182.25$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{4 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{3} = 64 \cdot 4.805419921875 = 307.546875$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{5 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{4} = 64 \cdot 8.109146118164062 = 518.9853515625$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{6 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{5} = 64 \cdot 13.684184074401855 = 875.7877807617188$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{7 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{6} = 64 \cdot 23.09206062555313 = 1477.8918800354004$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{8 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{7} = 64 \cdot 38.96785230562091 = 2493.942547559738$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{9 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{8} = 64 \cdot 65.75825076573528 = 4208.528049007058$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{10 - 1} = 64 \cdot {1.6875}^{9} = 64 \cdot 110.96704816717829 = 7101.891082699411$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列