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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6140350877192982

r=1.6140350877192982

この級数の和は次のようになります:

s = 148

s=148

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{n - 1}

a_n=57*1.6140350877192982^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

57, 92, 148.49122807017542, 239.67005232379188, 386.8358739261202, 624.3666737053169, 1007.7497189629673, 1626.5434060454913, 2625.2981290558805, 4237.323296020018

57,92,148.49122807017542,239.67005232379188,386.8358739261202,624.3666737053169,1007.7497189629673,1626.5434060454913,2625.2981290558805,4237.323296020018

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{92}{57} = 1.6140350877192982$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6140350877192982$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 57$ 、共通比数: $r = 1.6140350877192982$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 57 * ((1 - {1.6140350877192982}^{2}) / (1 - 1.6140350877192982))$

$s_{2} = 57 * ((1 - 2.6051092643890423) / (1 - 1.6140350877192982))$

$s_{2} = 57 * (- 1.6051092643890423 / (1 - 1.6140350877192982))$

$s_{2} = 57 * (- 1.6051092643890423 / - 0.6140350877192982)$

$s_{2} = 57 \cdot 2.614035087719298$

$s_{2} = 148.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 57$ と共通比数: $r = 1.6140350877192982$ を数式に代入します。

$a_{n} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 57$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{2 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{1} = 57 \cdot 1.6140350877192982 = 92$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{3 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{2} = 57 \cdot 2.6051092643890423 = 148.49122807017542$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{4 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{3} = 57 \cdot 4.204737760066524 = 239.67005232379188$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{5 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{4} = 57 \cdot 6.786594279405618 = 386.8358739261202$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{6 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{5} = 57 \cdot 10.953801293075735 = 624.3666737053169$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{7 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{6} = 57 \cdot 17.679819630929252 = 1007.7497189629673$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{8 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{7} = 57 \cdot 28.53584922886827 = 1626.5434060454913$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{9 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{8} = 57 \cdot 46.057861913261064 = 2625.2981290558805$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{10 - 1} = 57 \cdot {1.6140350877192982}^{9} = 57 \cdot 74.33900519333363 = 4237.323296020018$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列