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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.3157894736842106

r=1.3157894736842106

この級数の和は次のようになります:

s = 132

s=132

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{n - 1}

a_n=57*1.3157894736842106^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

57, 75, 98.68421052631581, 129.8476454293629, 170.8521650386354, 224.80548031399397, 295.79668462367636, 389.2061639785215, 512.1133736559494, 673.8333863894071

57,75,98.68421052631581,129.8476454293629,170.8521650386354,224.80548031399397,295.79668462367636,389.2061639785215,512.1133736559494,673.8333863894071

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{75}{57} = 1.3157894736842106$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.3157894736842106$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 57$ 、共通比数: $r = 1.3157894736842106$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 57 * ((1 - {1.3157894736842106}^{2}) / (1 - 1.3157894736842106))$

$s_{2} = 57 * ((1 - 1.731301939058172) / (1 - 1.3157894736842106))$

$s_{2} = 57 * (- 0.7313019390581721 / (1 - 1.3157894736842106))$

$s_{2} = 57 * (- 0.7313019390581721 / - 0.3157894736842106)$

$s_{2} = 57 \cdot 2.315789473684211$

$s_{2} = 132.00000000000003$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 57$ と共通比数: $r = 1.3157894736842106$ を数式に代入します。

$a_{n} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 57$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{2 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{1} = 57 \cdot 1.3157894736842106 = 75$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{3 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{2} = 57 \cdot 1.731301939058172 = 98.68421052631581$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{4 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{3} = 57 \cdot 2.2780288671818054 = 129.8476454293629$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{5 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{4} = 57 \cdot 2.997406404186586 = 170.8521650386354$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{6 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{5} = 57 \cdot 3.9439557949823505 = 224.80548031399397$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{7 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{6} = 57 \cdot 5.18941551971362 = 295.79668462367636$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{8 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{7} = 57 \cdot 6.828178315412658 = 389.2061639785215$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{9 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{8} = 57 \cdot 8.984445151858761 = 512.1133736559494$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{10 - 1} = 57 \cdot {1.3157894736842106}^{9} = 57 \cdot 11.821638357708897 = 673.8333863894071$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列