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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.9473684210526316

r=1.9473684210526316

この級数の和は次のようになります:

s = 168

s=168

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{n - 1}

a_n=57*1.9473684210526316^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

57, 111, 216.15789473684214, 420.9390581717452, 819.7234290712934, 1596.3035197704135, 3108.5910648160684, 6053.5720735891855, 11788.535090673677, 22956.62096604874

57,111,216.15789473684214,420.9390581717452,819.7234290712934,1596.3035197704135,3108.5910648160684,6053.5720735891855,11788.535090673677,22956.62096604874

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{111}{57} = 1.9473684210526316$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.9473684210526316$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 57$ 、共通比数: $r = 1.9473684210526316$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 57 * ((1 - {1.9473684210526316}^{2}) / (1 - 1.9473684210526316))$

$s_{2} = 57 * ((1 - 3.79224376731302) / (1 - 1.9473684210526316))$

$s_{2} = 57 * (- 2.79224376731302 / (1 - 1.9473684210526316))$

$s_{2} = 57 * (- 2.79224376731302 / - 0.9473684210526316)$

$s_{2} = 57 \cdot 2.947368421052632$

$s_{2} = 168.00000000000003$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 57$ と共通比数: $r = 1.9473684210526316$ を数式に代入します。

$a_{n} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 57$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{2 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{1} = 57 \cdot 1.9473684210526316 = 111$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{3 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{2} = 57 \cdot 3.79224376731302 = 216.15789473684214$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{4 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{3} = 57 \cdot 7.384895757399039 = 420.9390581717452$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{5 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{4} = 57 \cdot 14.381112790724444 = 819.7234290712934$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{6 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{5} = 57 \cdot 28.005324908252867 = 1596.3035197704135$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{7 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{6} = 57 \cdot 54.53668534765032 = 3108.5910648160684$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{8 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{7} = 57 \cdot 106.20301883489799 = 6053.5720735891855$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{9 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{8} = 57 \cdot 206.8164050995382 = 11788.535090673677$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{10 - 1} = 57 \cdot {1.9473684210526316}^{9} = 57 \cdot 402.7477362464691 = 22956.62096604874$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列