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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4285714285714286

r=1.4285714285714286

この級数の和は次のようになります:

s = 136

s=136

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{n - 1}

a_n=56*1.4285714285714286^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

56, 80, 114.28571428571429, 163.265306122449, 233.23615160349857, 333.1945022907122, 475.9921461295889, 679.9887801851271, 971.4125431216102, 1387.732204459443

56,80,114.28571428571429,163.265306122449,233.23615160349857,333.1945022907122,475.9921461295889,679.9887801851271,971.4125431216102,1387.732204459443

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{80}{56} = 1.4285714285714286$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4285714285714286$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 56$ 、共通比数: $r = 1.4285714285714286$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 56 * ((1 - {1.4285714285714286}^{2}) / (1 - 1.4285714285714286))$

$s_{2} = 56 * ((1 - 2.0408163265306123) / (1 - 1.4285714285714286))$

$s_{2} = 56 * (- 1.0408163265306123 / (1 - 1.4285714285714286))$

$s_{2} = 56 * (- 1.0408163265306123 / - 0.4285714285714286)$

$s_{2} = 56 \cdot 2.4285714285714284$

$s_{2} = 136$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 56$ と共通比数: $r = 1.4285714285714286$ を数式に代入します。

$a_{n} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 56$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{2 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{1} = 56 \cdot 1.4285714285714286 = 80$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{3 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{2} = 56 \cdot 2.0408163265306123 = 114.28571428571429$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{4 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{3} = 56 \cdot 2.915451895043732 = 163.265306122449$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{5 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{4} = 56 \cdot 4.164931278633903 = 233.23615160349857$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{6 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{5} = 56 \cdot 5.949901826619861 = 333.1945022907122$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{7 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{6} = 56 \cdot 8.499859752314087 = 475.9921461295889$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{8 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{7} = 56 \cdot 12.142656789020126 = 679.9887801851271$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{9 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{8} = 56 \cdot 17.346652555743038 = 971.4125431216102$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{10 - 1} = 56 \cdot {1.4285714285714286}^{9} = 56 \cdot 24.780932222490055 = 1387.732204459443$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列