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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.9464285714285716

r=2.9464285714285716

この級数の和は次のようになります:

s = 221

s=221

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{n - 1}

a_n=56*2.9464285714285716^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

56, 165, 486.16071428571433, 1432.4378188775513, 4220.575716335642, 12435.624878488947, 36640.68044554779, 107959.14774134618, 318093.91745218076, 937241.0067787468

56,165,486.16071428571433,1432.4378188775513,4220.575716335642,12435.624878488947,36640.68044554779,107959.14774134618,318093.91745218076,937241.0067787468

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{165}{56} = 2.9464285714285716$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.9464285714285716$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 56$ 、共通比数: $r = 2.9464285714285716$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 56 * ((1 - {2.9464285714285716}^{2}) / (1 - 2.9464285714285716))$

$s_{2} = 56 * ((1 - 8.681441326530614) / (1 - 2.9464285714285716))$

$s_{2} = 56 * (- 7.681441326530614 / (1 - 2.9464285714285716))$

$s_{2} = 56 * (- 7.681441326530614 / - 1.9464285714285716)$

$s_{2} = 56 \cdot 3.9464285714285716$

$s_{2} = 221$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 56$ と共通比数: $r = 2.9464285714285716$ を数式に代入します。

$a_{n} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 56$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{2 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{1} = 56 \cdot 2.9464285714285716 = 165$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{3 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{2} = 56 \cdot 8.681441326530614 = 486.16071428571433$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{4 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{3} = 56 \cdot 25.579246765670558 = 1432.4378188775513$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{5 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{4} = 56 \cdot 75.36742350599361 = 4220.575716335642$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{6 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{5} = 56 \cdot 222.0647299730169 = 12435.624878488947$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{7 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{6} = 56 \cdot 654.2978650990677 = 36640.68044554779$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{8 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{7} = 56 \cdot 1927.8419239526104 = 107959.14774134618$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{9 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{8} = 56 \cdot 5680.248525931799 = 318093.91745218076$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{10 - 1} = 56 \cdot {2.9464285714285716}^{9} = 56 \cdot 16736.44654962048 = 937241.0067787468$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列