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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 2.5714285714285716

r=2.5714285714285716

この級数の和は次のようになります:

s = 200

s=200

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{n - 1}

a_n=56*2.5714285714285716^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

56, 144, 370.28571428571433, 952.1632653061228, 2448.419825072887, 6295.936693044567, 16189.551496400318, 41630.27527645796, 107049.27928232048, 275269.5752973956

56,144,370.28571428571433,952.1632653061228,2448.419825072887,6295.936693044567,16189.551496400318,41630.27527645796,107049.27928232048,275269.5752973956

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{144}{56} = 2.5714285714285716$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 2.5714285714285716$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 56$ 、共通比数: $r = 2.5714285714285716$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 56 * ((1 - {2.5714285714285716}^{2}) / (1 - 2.5714285714285716))$

$s_{2} = 56 * ((1 - 6.612244897959185) / (1 - 2.5714285714285716))$

$s_{2} = 56 * (- 5.612244897959185 / (1 - 2.5714285714285716))$

$s_{2} = 56 * (- 5.612244897959185 / - 1.5714285714285716)$

$s_{2} = 56 \cdot 3.5714285714285716$

$s_{2} = 200$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 56$ と共通比数: $r = 2.5714285714285716$ を数式に代入します。

$a_{n} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 56$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{2 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{1} = 56 \cdot 2.5714285714285716 = 144$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{3 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{2} = 56 \cdot 6.612244897959185 = 370.28571428571433$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{4 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{3} = 56 \cdot 17.00291545189505 = 952.1632653061228$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{5 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{4} = 56 \cdot 43.72178259058727 = 2448.419825072887$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{6 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{5} = 56 \cdot 112.42744094722441 = 6295.936693044567$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{7 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{6} = 56 \cdot 289.0991338642914 = 16189.551496400318$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{8 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{7} = 56 \cdot 743.3977727938922 = 41630.27527645796$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{9 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{8} = 56 \cdot 1911.59427289858 = 107049.27928232048$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{10 - 1} = 56 \cdot {2.5714285714285716}^{9} = 56 \cdot 4915.528130310635 = 275269.5752973956$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列