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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.9090909090909092

r=1.9090909090909092

この級数の和は次のようになります:

s = 160

s=160

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{n - 1}

a_n=55*1.9090909090909092^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

55, 105, 200.4545454545455, 382.68595041322317, 730.5822689706988, 1394.7479680349707, 2662.7006662485805, 5083.337635565472, 9704.553667897719, 18526.875184168373

55,105,200.4545454545455,382.68595041322317,730.5822689706988,1394.7479680349707,2662.7006662485805,5083.337635565472,9704.553667897719,18526.875184168373

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{105}{55} = 1.9090909090909092$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.9090909090909092$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 55$ 、共通比数: $r = 1.9090909090909092$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 55 * ((1 - {1.9090909090909092}^{2}) / (1 - 1.9090909090909092))$

$s_{2} = 55 * ((1 - 3.6446280991735542) / (1 - 1.9090909090909092))$

$s_{2} = 55 * (- 2.6446280991735542 / (1 - 1.9090909090909092))$

$s_{2} = 55 * (- 2.6446280991735542 / - 0.9090909090909092)$

$s_{2} = 55 \cdot 2.9090909090909096$

$s_{2} = 160.00000000000003$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 55$ と共通比数: $r = 1.9090909090909092$ を数式に代入します。

$a_{n} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 55$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{2 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{1} = 55 \cdot 1.9090909090909092 = 105$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{3 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{2} = 55 \cdot 3.6446280991735542 = 200.4545454545455$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{4 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{3} = 55 \cdot 6.9579263711495125 = 382.68595041322317$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{5 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{4} = 55 \cdot 13.283313981285433 = 730.5822689706988$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{6 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{5} = 55 \cdot 25.359053964272192 = 1394.7479680349707$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{7 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{6} = 55 \cdot 48.412739386337826 = 2662.7006662485805$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{8 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{7} = 55 \cdot 92.42432064664494 = 5083.337635565472$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{9 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{8} = 55 \cdot 176.44643032541308 = 9704.553667897719$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{10 - 1} = 55 \cdot {1.9090909090909092}^{9} = 55 \cdot 336.8522760757886 = 18526.875184168373$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列