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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4074074074074074

r=1.4074074074074074

この級数の和は次のようになります:

s = 130

s=130

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{n - 1}

a_n=54*1.4074074074074074^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

54, 76, 106.96296296296298, 150.54046639231825, 211.87176751511458, 298.1898950212724, 419.674667066976, 590.6532351312995, 831.28973833294, 1169.9633354315454

54,76,106.96296296296298,150.54046639231825,211.87176751511458,298.1898950212724,419.674667066976,590.6532351312995,831.28973833294,1169.9633354315454

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{76}{54} = 1.4074074074074074$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4074074074074074$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 54$ 、共通比数: $r = 1.4074074074074074$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 54 * ((1 - {1.4074074074074074}^{2}) / (1 - 1.4074074074074074))$

$s_{2} = 54 * ((1 - 1.9807956104252402) / (1 - 1.4074074074074074))$

$s_{2} = 54 * (- 0.9807956104252402 / (1 - 1.4074074074074074))$

$s_{2} = 54 * (- 0.9807956104252402 / - 0.40740740740740744)$

$s_{2} = 54 \cdot 2.4074074074074074$

$s_{2} = 130$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 54$ と共通比数: $r = 1.4074074074074074$ を数式に代入します。

$a_{n} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{2 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{1} = 54 \cdot 1.4074074074074074 = 76$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{3 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{2} = 54 \cdot 1.9807956104252402 = 106.96296296296298$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{4 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{3} = 54 \cdot 2.7877864146725604 = 150.54046639231825$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{5 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{4} = 54 \cdot 3.9235512502798997 = 211.87176751511458$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{6 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{5} = 54 \cdot 5.522035092986526 = 298.1898950212724$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{7 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{6} = 54 \cdot 7.7717530938328885 = 419.674667066976$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{8 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{7} = 54 \cdot 10.938022872801843 = 590.6532351312995$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{9 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{8} = 54 \cdot 15.394254413572964 = 831.28973833294$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{10 - 1} = 54 \cdot {1.4074074074074074}^{9} = 54 \cdot 21.665987693176767 = 1169.9633354315454$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列