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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.1111111111111112

r=1.1111111111111112

この級数の和は次のようになります:

s = 114

s=114

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{n - 1}

a_n=54*1.1111111111111112^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

54, 60, 66.66666666666667, 74.07407407407409, 82.3045267489712, 91.44947416552357, 101.61052685058173, 112.90058538953528, 125.44509487726141, 139.38343875251272

54,60,66.66666666666667,74.07407407407409,82.3045267489712,91.44947416552357,101.61052685058173,112.90058538953528,125.44509487726141,139.38343875251272

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{60}{54} = 1.1111111111111112$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.1111111111111112$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 54$ 、共通比数: $r = 1.1111111111111112$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 54 * ((1 - {1.1111111111111112}^{2}) / (1 - 1.1111111111111112))$

$s_{2} = 54 * ((1 - 1.234567901234568) / (1 - 1.1111111111111112))$

$s_{2} = 54 * (- 0.23456790123456805 / (1 - 1.1111111111111112))$

$s_{2} = 54 * (- 0.23456790123456805 / - 0.11111111111111116)$

$s_{2} = 54 \cdot 2.1111111111111116$

$s_{2} = 114.00000000000003$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 54$ と共通比数: $r = 1.1111111111111112$ を数式に代入します。

$a_{n} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{2 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{1} = 54 \cdot 1.1111111111111112 = 60$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{3 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{2} = 54 \cdot 1.234567901234568 = 66.66666666666667$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{4 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{3} = 54 \cdot 1.3717421124828535 = 74.07407407407409$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{5 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{4} = 54 \cdot 1.524157902758726 = 82.3045267489712$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{6 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{5} = 54 \cdot 1.6935087808430291 = 91.44947416552357$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{7 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{6} = 54 \cdot 1.8816764231589211 = 101.61052685058173$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{8 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{7} = 54 \cdot 2.0907515812876905 = 112.90058538953528$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{9 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{8} = 54 \cdot 2.323057312541878 = 125.44509487726141$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{10 - 1} = 54 \cdot {1.1111111111111112}^{9} = 54 \cdot 2.5811747917131984 = 139.38343875251272$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列