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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6111111111111112

r=0.6111111111111112

この級数の和は次のようになります:

s = 86

s=86

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{n - 1}

a_n=54*0.6111111111111112^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

54, 33, 20.166666666666668, 12.324074074074076, 7.531378600823047, 4.602509144947419, 2.812644477467867, 1.718838291785919, 1.0504011783136173, 0.6419118311916551

54,33,20.166666666666668,12.324074074074076,7.531378600823047,4.602509144947419,2.812644477467867,1.718838291785919,1.0504011783136173,0.6419118311916551

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{33}{54} = 0.6111111111111112$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6111111111111112$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 54$ 、共通比数: $r = 0.6111111111111112$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 54 * ((1 - {0.6111111111111112}^{2}) / (1 - 0.6111111111111112))$

$s_{2} = 54 * ((1 - 0.37345679012345684) / (1 - 0.6111111111111112))$

$s_{2} = 54 * (0.6265432098765431 / (1 - 0.6111111111111112))$

$s_{2} = 54 * (0.6265432098765431 / 0.38888888888888884)$

$s_{2} = 54 \cdot 1.611111111111111$

$s_{2} = 86.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 54$ と共通比数: $r = 0.6111111111111112$ を数式に代入します。

$a_{n} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 54$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{2 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{1} = 54 \cdot 0.6111111111111112 = 33$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{3 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{2} = 54 \cdot 0.37345679012345684 = 20.166666666666668$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{4 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{3} = 54 \cdot 0.22822359396433475 = 12.324074074074076$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{5 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{4} = 54 \cdot 0.1394699740893157 = 7.531378600823047$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{6 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{5} = 54 \cdot 0.0852316508323596 = 4.602509144947419$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{7 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{6} = 54 \cdot 0.05208600884199754 = 2.812644477467867$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{8 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{7} = 54 \cdot 0.03183033873677628 = 1.718838291785919$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{9 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{8} = 54 \cdot 0.019451873672474394 = 1.0504011783136173$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{10 - 1} = 54 \cdot {0.6111111111111112}^{9} = 54 \cdot 0.011887256133178797 = 0.6419118311916551$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列