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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.9245283018867925

r=0.9245283018867925

この級数の和は次のようになります:

s = 101

s=101

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{n - 1}

a_n=53*0.9245283018867925^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

53, 49, 45.301886792452834, 41.882876468494125, 38.72190465955118, 35.799496760717126, 33.097647948587536, 30.59971225435451, 28.29030000874285, 26.155183026950937

53,49,45.301886792452834,41.882876468494125,38.72190465955118,35.799496760717126,33.097647948587536,30.59971225435451,28.29030000874285,26.155183026950937

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{49}{53} = 0.9245283018867925$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.9245283018867925$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 53$ 、共通比数: $r = 0.9245283018867925$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 53 * ((1 - {0.9245283018867925}^{2}) / (1 - 0.9245283018867925))$

$s_{2} = 53 * ((1 - 0.8547525809896761) / (1 - 0.9245283018867925))$

$s_{2} = 53 * (0.1452474190103239 / (1 - 0.9245283018867925))$

$s_{2} = 53 * (0.1452474190103239 / 0.07547169811320753)$

$s_{2} = 53 \cdot 1.924528301886792$

$s_{2} = 101.99999999999997$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 53$ と共通比数: $r = 0.9245283018867925$ を数式に代入します。

$a_{n} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 53$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{2 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{1} = 53 \cdot 0.9245283018867925 = 49$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{3 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{2} = 53 \cdot 0.8547525809896761 = 45.301886792452834$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{4 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{3} = 53 \cdot 0.7902429522357383 = 41.882876468494125$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{5 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{4} = 53 \cdot 0.7306019747085127 = 38.72190465955118$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{6 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{5} = 53 \cdot 0.6754622030323986 = 35.799496760717126$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{7 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{6} = 53 \cdot 0.6244839235582553 = 33.097647948587536$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{8 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{7} = 53 \cdot 0.5773530614029153 = 30.59971225435451$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{9 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{8} = 53 \cdot 0.5337792454479783 = 28.29030000874285$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{10 - 1} = 53 \cdot {0.9245283018867925}^{9} = 53 \cdot 0.4934940193764328 = 26.155183026950937$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列