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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 0.6981132075471698

r=0.6981132075471698

この級数の和は次のようになります:

s = 90

s=90

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{n - 1}

a_n=53*0.6981132075471698^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

53, 37, 25.83018867924528, 18.032395870416515, 12.588653720856811, 8.788305427767963, 6.135232091083294, 4.283086554152488, 2.990079292521548, 2.08741384572259

53,37,25.83018867924528,18.032395870416515,12.588653720856811,8.788305427767963,6.135232091083294,4.283086554152488,2.990079292521548,2.08741384572259

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{37}{53} = 0.6981132075471698$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 0.6981132075471698$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 53$ 、共通比数: $r = 0.6981132075471698$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 53 * ((1 - {0.6981132075471698}^{2}) / (1 - 0.6981132075471698))$

$s_{2} = 53 * ((1 - 0.4873620505517977) / (1 - 0.6981132075471698))$

$s_{2} = 53 * (0.5126379494482023 / (1 - 0.6981132075471698))$

$s_{2} = 53 * (0.5126379494482023 / 0.30188679245283023)$

$s_{2} = 53 \cdot 1.6981132075471699$

$s_{2} = 90$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 53$ と共通比数: $r = 0.6981132075471698$ を数式に代入します。

$a_{n} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 53$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{2 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{1} = 53 \cdot 0.6981132075471698 = 37$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{3 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{2} = 53 \cdot 0.4873620505517977 = 25.83018867924528$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{4 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{3} = 53 \cdot 0.3402338843474814 = 18.032395870416515$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{5 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{4} = 53 \cdot 0.23752176831805305 = 12.588653720856811$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{6 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{5} = 53 \cdot 0.16581708354279173 = 8.788305427767963$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{7 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{6} = 53 \cdot 0.11575909605817536 = 6.135232091083294$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{8 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{7} = 53 \cdot 0.08081295385193374 = 4.283086554152488$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{9 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{8} = 53 \cdot 0.05641659042493487 = 2.990079292521548$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{10 - 1} = 53 \cdot {0.6981132075471698}^{9} = 53 \cdot 0.039385166900426226 = 2.08741384572259$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列