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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.4423076923076923

r=1.4423076923076923

この級数の和は次のようになります:

s = 126

s=126

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{n - 1}

a_n=52*1.4423076923076923^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

52, 75, 108.17307692307692, 156.01886094674555, 225.02720328857532, 324.558466281599, 468.113172521537, 675.1632295983707, 973.7931196130347, 1404.5093071341846

52,75,108.17307692307692,156.01886094674555,225.02720328857532,324.558466281599,468.113172521537,675.1632295983707,973.7931196130347,1404.5093071341846

手順を見る

手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{75}{52} = 1.4423076923076923$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.4423076923076923$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 52$ 、共通比数: $r = 1.4423076923076923$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 52 * ((1 - {1.4423076923076923}^{2}) / (1 - 1.4423076923076923))$

$s_{2} = 52 * ((1 - 2.0802514792899407) / (1 - 1.4423076923076923))$

$s_{2} = 52 * (- 1.0802514792899407 / (1 - 1.4423076923076923))$

$s_{2} = 52 * (- 1.0802514792899407 / - 0.4423076923076923)$

$s_{2} = 52 \cdot 2.442307692307692$

$s_{2} = 126.99999999999999$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 52$ と共通比数: $r = 1.4423076923076923$ を数式に代入します。

$a_{n} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 52$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{2 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{1} = 52 \cdot 1.4423076923076923 = 75$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{3 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{2} = 52 \cdot 2.0802514792899407 = 108.17307692307692$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{4 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{3} = 52 \cdot 3.0003627105143376 = 156.01886094674555$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{5 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{4} = 52 \cdot 4.327446217087987 = 225.02720328857532$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{6 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{5} = 52 \cdot 6.241508966953827 = 324.558466281599$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{7 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{6} = 52 \cdot 9.002176394644943 = 468.113172521537$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{8 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{7} = 52 \cdot 12.983908261507128 = 675.1632295983707$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{9 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{8} = 52 \cdot 18.72679076178913 = 973.7931196130347$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{10 - 1} = 52 \cdot {1.4423076923076923}^{9} = 52 \cdot 27.00979436796509 = 1404.5093071341846$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列