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解答 - 幾何学的な数列

共通比数は次のようになります:

r = 1.6375

r=1.6375

この級数の和は次のようになります:

s = 13503

s=13503

この級数の一般形は次のようになります:

a_{n} = 5120 \cdot {1.6375}^{n - 1}

a_n=5120*1.6375^(n-1)

この級数のn番目の項は次のようになります:

5120, 8384, 13728.8, 22480.91, 36812.490125, 60280.45257968749, 98709.24109923826, 161636.38230000268, 264679.5760162543, 433412.8057266165

5120,8384,13728.8,22480.91,36812.490125,60280.45257968749,98709.24109923826,161636.38230000268,264679.5760162543,433412.8057266165

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手順を追って説明

1. 共通比数を求める

数列の任意の項を、それより一つ前の項で割ることによって共通比数を求めます:

$a_{2} a_{1} = \frac{8384}{5120} = 1.6375$

数列の共通比数（ $r$ ）は一定で、2つの連続する項の商と等しい。
$r = 1.6375$

2. 和を見つける

5追加のsteps

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

級数の和を求めるために、初項: $a = 5, 120$ 、共通比数: $r = 1.6375$ 、そして要素の数 $n = 2$ を等比級数和の数式に代入します。

$s_{2} = 5120 * ((1 - {1.6375}^{2}) / (1 - 1.6375))$

$s_{2} = 5120 * ((1 - 2.6814062499999998) / (1 - 1.6375))$

$s_{2} = 5120 * (- 1.6814062499999998 / (1 - 1.6375))$

$s_{2} = 5120 * (- 1.6814062499999998 / - 0.6375)$

$s_{2} = 5120 \cdot 2.6374999999999997$

$s_{2} = 13503.999999999998$

3. 一般形を見つける

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

等比級数の一般形を求めるために、初項: $a = 5, 120$ と共通比数: $r = 1.6375$ を数式に代入します。

$a_{n} = 5120 \cdot {1.6375}^{n - 1}$

4. n番目の項を見つける

一般形を使用してn番目の項を見つけます

$a_{1} = 5120$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{2 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{1} = 5120 \cdot 1.6375 = 8384$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{3 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{2} = 5120 \cdot 2.6814062499999998 = 13728.8$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{4 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{3} = 5120 \cdot 4.390802734375 = 22480.91$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{5 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{4} = 5120 \cdot 7.1899394775390615 = 36812.490125$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{6 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{5} = 5120 \cdot 11.773525894470213 = 60280.45257968749$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{7 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{6} = 5120 \cdot 19.279148652194973 = 98709.24109923826$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{8 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{7} = 5120 \cdot 31.56960591796927 = 161636.38230000268$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{9 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{8} = 5120 \cdot 51.69522969067467 = 264679.5760162543$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{10 - 1} = 5120 \cdot {1.6375}^{9} = 5120 \cdot 84.65093861847978 = 433412.8057266165$

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なぜこれを学ぶのか

幾何数列は数学、物理学、工学、生物学、経済学、コンピューターサイエンス、財務など、多岐にわたる概念を説明するためによく使われます。したがって、これは私たちのツールキットにとって非常に便利なツールとなります。幾何数列の最も一般的な使い方の一つは、複利が加算されたり未払いになったりする金額を計算することで、これは財務と最も直接的に関連しており、大量のお金を稼いだり失ったりする可能性があります！他の応用例には、確率の計算、時間経過による放射能の測定、建築物の設計などがありますが、これらは決して全てではありません。

用語とトピック

幾何学的な数列